单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.5 阿贝尔群和循环群,一.阿贝尔群,定义 如果群中的运算*是可交换的，那么称该群为,阿贝尔群，或称交换群。,例,设,是有限的可交换独异点，且对任意的,a,b,cS，,等式,a*b=a*c,蕴含着,b=c，,证明,是阿贝尔群。,分析,只要证明,S,中的每个元素都存在逆元,，,那么,就是阿贝尔群。,设任意的bS 存在正整数i，j，使得bi=bj ij,即：bi*e=bi*bji由题意知bji就是幺元，那么b的逆元,为,定理1,设,是一个群，,是,阿贝尔群,的充要条件是,对任意的,a,bG，,有,(,a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),。,证明 1充分性,设对任意的a,bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),因为 a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b),=(a*b)*(a*b),=a*(b*a)*b,所以 a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1,即(a-1*a)*(a*b)*(b*b-1)=(a-1*a)*(b*a)*(b*b-1),即得a*b=b*a，因此是阿贝尔群。,2必要性=,设是阿贝尔群，那么对任意的a,bG，有,a*b=b*a,因此 (a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b,=a*(b*a)*b,=(a*b)*(a*b),循环群,定义 设是群，假设在G中存在一个元素a，使得G中的,任意元素都由a的幂组成，那么称该群为循环群，元素a,称为循环群的生成元。,循环群的生成,元可以不唯一,*,a*a,=b,a*a*a,=e,b*b,=a,b*b*b,=e,定理2,任何一个循环群必定是阿贝尔群。,证明 设,是一个循环群，生成元为,a，,那么对于任意的,x,yG,，,必有,r,sI，,使得,x=a,r,和,y=a,s,且,x,*,y,=a,r,*,a,s,=,a,r+s,=,a,s+r,=,a,s,*,a,r,=,y,*,x,因此,是一个,阿贝尔群。,定理3,设是一个由元素aG生成的有限循环群。如果G,的阶数是n，即|G|=n，那么an=e，且,G=a，a2，a3，an-1，an=e，,其中e是中的幺元，n是使an=e的最小正整数。,证明 假设对于某个正整数,m，mn，,有,a,m,=e。,那么，由于,是一个循环群，所以,G,中的任何元素都能写为,a,k,(kI)，,设,k=mq+r,，,其中，,q,是某个整数，0,rm。,这就有,a,k,=a,mq+r,=(a,m,),q,*,a,r,=a,r,这就导致,G,中的每一个元素都可以表示成,a,r,(,0,rm,),，,这样，,G,中最多有,m,个不同的元素，与|,G|=n,矛盾。,所以,a,m,=e(mn),是不可能的,。,称为元素的阶,进一步证明,a，a,2,，a,3,，a,n-1,，a,n,都不相同。(反证),假设,a,i,=a,j,，,其中1,ijn，,就有,a,=a,*,a,j-i,=,a,*e，,即,a,j-i,为幺元，而且1,j-in,，,这已经由上面证明是不可能的。,所以，,a，a,2,，a,3,，,，a,n-1,，a,n,都不相同，,因此,G=a，a,2,，a,3,，,，a,n-1,，a,n,=e,作业,P200 (1)(5),5.7 陪集与拉格朗日定理,一.,A、B,的积，,A,的逆,定义,设,是一个群，,A,BP(G),且,A,，B,，,记,AB=a*b|a,A,bB,和,A,-1,=a,-1,|aA,分别称为,A,B,的积,和,A,的逆,。,二.陪集,定义 设是群 的一个子群，aG，那么集合,aH(Ha)称为由a所确定的H在G中的左陪集右,陪集，简称为H关于a的左陪集右陪集，记为,aH(Ha)。元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。,拉格朗日定理,设是群 的一个子群，那么,R=|aG,bG且a-1*bH是G中的一个等价关系。,对于aG，假设记 aR=x|xG且R 那么 aR=aH,2)如果G是有限集，|G|=n，|H|=m，那么m|n.即整除,证明 1)：对于任一aG，必有a-1 G，使a-1*a=e H，所以,R，即是自反的。,II：对于任意a,G，假设 R，那么a-1*bH，,因为H是G的子群，故(a-1*b)-1=b-1*aH，,所以 R，即是对称的。,III：对于任意a,cG，假设 R，R，,那么a-1*b H，b-1*c H，,所以a-1*b*b-1*c=a-1*c H，,故 R，即是传递的。,对于,a,G,，我们有：,b,a,R,R,a,-1,*,b,H,b,aH。,因此,a,R,=aH,2)由于,R,是,G,中的一个等价关系，所以必定将,G,划分成不,同的等价类,a,1,R,，,a,2,R,，,，,a,k,R,，使得,又因为，,H,中任意两个,不同,的元素,h,1,，h,2,，,必有,a*h,1,a*h,2,(aG)，,所以,|,a,i,H|=|H|=m,，i=1,2,k。,因此,n=|G|=mk,推论1,任何质数阶的群不可能有非平凡子群。,推论2 设是n阶有限群，那末对于任意的aG，a的,阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群中的,幺元。如果n为质数，那么必是循环群。,证明见书210,例：,见书210,例题,作业,P211()(),5.8 同态与同构,1 同态映射 同态象,定义设和是两个代数系统，和*分别是和上的二元(n元)运算，设是从到的映射，使得对任意a，a2A，,有(aa2)=(a)*(a2),那么称为由到的一个同态映射，称同态于，记作。,把称为的一个同态象。其中,()()，A,例1、A=I,B=-1,0,1,f是A到B的映射，f(x)=sign(x)，,那么sign是从到的一个同态映射,例2、,和,x,y,那么是从到 的一个同态映射,例3、到上定义,那么是从到上的同态映射。,2 满同态 单同态 同构,定义,设是由,到的一个同态，如果是从,到的一个,满射,，则称为,满同态,；如果是从到的一,个,入射,，则称为,单一同态,；如果是从到的一个,双射,，,则称为,同构映射,，并称,和 是同构的，记作,。,上例1，例2都是满同态，例3是同构,例4，,和,两个代数系统，,f(x)=ax,f:,到,的一个同态映射,1),a,I,f(I),I,因此,f,是,到,的同态映射，自同态,2),a=1,-1,f(I)=I,因此,f,是,到,的同构映射，,自同构,3),a,I,a,0,f,是,到,单一同态。,定理1：f是从代数系统到的同态映射，假设是群，也是群。,证明：1f(A)B,f是从到的同态映射。,2封闭，b1,b2f(A),b1*b2 f(A),3可结合,4f(e)是的幺元,5中每个元素有逆元,定理2：G是代数系统的集合，那么G中代数系统中的同构关系是等价关系。,证明见书216,3 同余关系 同余类,定义 是代数系统，R是A上的一个等价关系，,1如果当R,R,就有R,那么称R是A上关于*的同余关系。,2由这个同余关系R将A划分成的等价类称为同余类。,例5，代数系统，I,上的关系,R=|x y(mod 3)，,验证,R,是,I,上关于,+,的同余关系，求,R,的同余类。,定理,：设,f,是从,到,的一个同态映射，如果,A,上定义的二元关系,R,为,R,当且仅当,f(a1)=f(a2)，,那么,R,是,A,上的同余关系。,证明见书219,