高一（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，共40.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 命题p：，的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p：，的否定为，.故选：B2. 已知集合，且，则（ ）A. B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值.【详解】因为集合，且，所以，或，解得或，当时，集合中的元素不满足互异性；当时，符合题意综上，故选：D3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，根据解析式有意义可知，即，综上，.所以函数的定义域为.故选：A4. 设函数，用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的性质，结合图象即可求解.【详解】解：令，解得或，则，当或时，当时，函数没有最小值，综上：函数的最小值为1，故选：B 5. 已知函数满足，且，则（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】分别取代入，联立可解得，然后可求.【详解】因为函数满足，所以有，又，所以，解得，则.故选：A6. 已知偶函数在区间上对任意，都有，则满足的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件得出函数在区间上递增，在区间则上递减，且图像关于轴对称，从而得到，即可得出结果.【详解】因为偶函数在区间上对任意的，都有，所以在区间上递增，在区间则上递减，由，得到，即，解得，故选：D7. “不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.【详解】解：“不等式在R上恒成立”，显然不满足题意，解得，对于A，是充要条件，故A错误；对于B，因为推不出，故B错误；对于C，因为，反之不能推出，故C正确；对于D，因为推不出，故D错误故选：C8. 已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得.【详解】由题知，因为a，b为正实数，所以由得，即，所以，当且仅当，且，即，时，等号成立，所以，即，所以，整理得，解得，所以正数x的最大值为2故选：D二、多选题（本题共4小题，共20.0分在每小题有多项符合题目要求）9. 已知不等式解集为或，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 的解集为【答案】ACD【解析】【分析】利用一元二次不等式解的性质得到关于的表达式，且，从而分析各选项即可得解.【详解】由题意知，和3是方程的两根，且，所以，则，因为，所以，故AC正确，B错误；不等式为，即，解得，所以的解集为，故D正确故选：ACD10. 中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”现有如下表示：已知，若，则下列选项中符合题意的整数x为（ ）A. 23B. 44C. 68D. 128【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.详解】对于A，由，得；由，得；由，得，因此，A正确；对于B，由，得，B错误；对于C，由，则，C错误；对于D，由，得；由，得；由，得，因此，D正确.故选：AD11. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值可以是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由二次函数、反比例函数的性质及分段函数的单调性即可求解.【详解】由题意，二次函数的图象开口向下，对称轴为，因为函数是R上的增函数，所以，解得所以实数a的取值可以是，.故选：BC.12. 设表示不超过x的最大整数，如：，又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）A. 是奇函数B. ，若，则C. ，D. 不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】由“取整函数”的定义逐个选项分析即可.【详解】A取和0.5，函数值分别为和0，故A不正确；B设，则，则，因此，故B正确；C设（，），当时，此时，当时，此时，综合可得，C正确；D不等式，可得：，或，或，因此不等式的解集为，故D正确故选：BCD三、填空题（本题共4小题，共20.0分）13. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为_【答案】#【解析】【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，在区间上单调递增，不满足题意，当时，在上单调递减，满足题意.故故答案为：14. 设函数是定义在R上的奇函数，且当时，则函数在时的解析式为_.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为是定义在R上的奇函数，当时，若，则，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以，即.故答案为：15. 写出同时满足以下条件的一个函数_定义域为R，值域为；，且时，；，【答案】(答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根据已知条件分析函数的性质，选用满足题意的基本函数即可.【详解】由题意可知，函数的图像关于直线对称，函数在上单调递增，在上单调递减，最小值，则符合题意.故答案为：16. 已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分类讨论不等式的解集，结合函数的图像，求满足条件的实数a的取值范围.【详解】作出函数的图像，如图所示，有，由，得，当时，不等式无解；当时，由得，此时不可能只有一个整数解当时，由得，若不等式恰有一个整数解，则整数解为，又，再结合图像知，综上所述，实数a的取值范围为故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数的定义域为A，集合，（1）求；（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围【答案】17. ； 18. 【解析】【分析】（1）根据解析式有意义求集合A，解一元二次不等式得集合B，然后根据集合运算可得；（2）根据集合包含关系列不等式组求解即可.【小问1详解】由得：，即，解得：，即，【小问2详解】由题意知，由（1）知：，显然所以有，解得：；所以实数a的取值范围为18. （1）已知二次函数满足，且.求的解析式；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，利用建立恒等式求解即可；（2）令，（），从而把求值域问题转化为求的值域问题，利用二次函数性质求解值域即可.【详解】（1）设二次函数（），因为，所以.由，得，得，所以，得，故.（2）函数，令，（），那么，则函数转化为，整理得：（），根据二次函数的性质可知：的开口向上，对称轴，故当时，函数取得最小值为，无最大值，即，所以函数的值域为.19. 已知函数是定义在上的奇函数，且（1）判断函数的单调性并用定义加以证明；（2）求使成立的实数m的取值范围【答案】（1）函数是定义在上的增函数，证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可得出的值，再由可得出的值，可得出函数的解析式，利用函数奇偶性的定义验证函数为奇函数，判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）由奇函数的性质可将所求不等式变形为，再利用函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：函数是定义在上的奇函数，即又，即，解得，此时，对任意的，所以，是定义在上的奇函数函数是定义在上的增函数，证明如下：、，且，则，即，在上是增函数【小问2详解】解：由（1）知，在上是增函数，是定义在上的奇函数，由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是20. 以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，且高级设备年产量最大为10000台（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润【答案】（1） （2）当年产量为30百台时，最大利润为400万元【解析】分析】（1）分和两种情况讨论，即可求解函数关系式；（2）根据基本不等式和二次函数的性质求解最大值即可【小问1详解】当时，；当时，所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为：【小问2详解】当时，当时，取得最大值为400；当时，当且仅当时取等号，故当时，取最大值为325；综上所述：当年产量为30百台时，最大利润为400万元21. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是；则称是该函数的“完美区间”（1）判断函数，是否存在“完美区间”，若存在，则求出它的一个完美区间，若不存在，请说明理由；（2）已知函数（，）有“完美区间”，当a变化时，求出的最大值【答案】（1）存在“完美区间”，它的一个完美区间是. （2）【解析】【分析】（1）根据“完美区间”的定义，分类讨论函数单调性，由值域列方程求的值.（2）由“完美区间”的定义和函数单调性，列方程求解，得是方程的两根，利用韦达定理求的最大值【小问1详解】根据题意，函数，其定义域为R，若存在“完美区间”，则在内是单调函数，分2种情况讨论：若，在是增函数，必有，显然不存在符合题意的m、n；若，在是减函数，必有，则，且故符合条件的一组，（答案不唯一，符合题意即可），所以函数存在“完美区间”，它的一个完美区间是.【小问2详解】根据题意，其定义域为，必有或，则在上递增，必有，则m、n是方程的两个根，变形可得，则该方程有两个同号不相等的根，且两根为m、n，则，必有，解可得或，则，又由或，则时，取得最大值2，则最大值为22. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”若函数的图像关于点对称，且当时，（1）求的值；（2）设函数（）证明：函数的图像关于点对称；（）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）（）证明见解析；（）【解析】【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得；（2）（）证明即可；（）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可.【小问1详解】因为函数的图像关于点对称，则，令，可得【小问2详解】（）证明：由，得，所以函数的图像关于对称（），则在上单调递增，所以的值域为，设在上的值域为A，对任意，总存在，使得成立，则，当时，函数图象开口向上，对称轴为，且，当，即，函数在上单调递增，由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，所以，由，可得，解得当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，结合对称性可得或，因为，所以，又，所以，所以当时，成立当，即时，函数在上单调递减，由对称性可知在上单调递减，因为，所以，所以，由，可得，解得综上所述，实数a的取值范围为