江苏省泰兴市高二数学阶段测试（三）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1抛物线的准线方程为（）ABCD2函数在处的导数是（）ABC2D43某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（）A从时刻到物体的平均速度B从时刻到位移的平均变化率C当时刻为时该物体的速度D该物体在时刻的瞬时速度4已知圆：与直线，下列选项正确的是（）A直线与圆相切B直线与圆相离C直线与圆相交且所截弦长最短为D直线与圆相交且所截弦长最短为45函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（）ABCD6设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（）ABCD27在等比数列中，则（）ABCD118已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（）ABCD二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得2分.有选错的得0分.）9设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（）A若，则既是等差数列又是等比数列B若（A，B为常数），则是等差数列C若，则是等比数列D若是等比数列，则也成等比数列10若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（）ABCD11如图，已知椭圆的左右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点(是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）A为定值BCD的最大值为12函数满足，则正确的是（）ABCD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13曲线在处的切线方程为 14已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是 .15若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .16已知数列满足，则 ；数列的前20项和 四、解答题（本题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17等差数列满足，前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求的最大值.18如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若，求椭圆的标准方程（2）若求椭圆的离心率19已知函数.讨论函数的单调性.20已知直线l经过，且与圆相交于A、B两点(1)若，求直线l的斜率；(2)若，求的取值范围21设数列满足：，且对任意的，都有(1)从下面两个结论中选择一个进行证明数列是等差数列；数列是等比数列；(2)求数列的前项和22已知函数，.(1)求的单调区间；(2)证明：.1C【分析】根据抛物线方程即可求解准线方程.【详解】由得，即，故准线方程为，故选：C2A【分析】先对函数求导后，再将代入导函数中可求得结果.【详解】由，得，所以函数在处的导数是，故选：A3D【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.4C【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.【详解】由题意，圆的圆心，半径，直线变形得，得直线过定点，所以点在圆内，直线与圆必相交，故A，B错；由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为，故C对，D错.故选：C.5C【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.【详解】由图象可知，在区间上，在区间上，所以不等式的解集为.故选：C6A【分析】设点，由依题意可知，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值【详解】设点，因为，所以，而，所以当时，的最大值为故选：A【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.7A【分析】设，倒序相加再由等比数列的性质求解.【详解】设，则，所以.故选：A8C【分析】构造，由函数单调性得到，通过变换可得到ABD正确，C错误.【详解】由题意得，令，则恒成立，所以在上单调递增，故，所以，B正确，A正确，D正确，C选项，又在上单调递增，故，所以，故，设，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，又，故，即，当且仅当时，等号成立，故，则，所以，又，故，C错误.故选：C【点睛】常见的不等式放缩有，等，常用来比较大小.9BC【分析】对于A：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC：根据与之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D：根据等比数列的和项性质分析判断.【详解】对于选项A: 因为，即，可知数列是等差数列，当时，数列不是等比数列，故A错误；对于选项B：因为，当时，；当时，；可知时，符合上式，综上所述：，可得，所以数列是等差数列，故B正确；对于选项C: 因为，当时，；当时，；可知时，符合上式，综上所述：，可得，所以数列是等比数列，故C正确；对于选项D: 当数列是等比数列时，取，则，此时显然，不是等比数列，故D错误；故选：BC.10CD【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可【详解】已知，函数定义域为，可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值，若函数在区间内有最小值，此时，解得，当，即时，整理得，解得或，所以，综上，满足条件的取值范围为，故选：CD11ABC【分析】设点的坐标为，而，从而可求出直线的斜率，进而可得直线的方程，令，求出的值，可得点的坐标，然后可求出的斜率，进而可对选项A，B，C进行判断，求出直线，的方程，两方程联立可求出点的坐标，从而可表示出的长，进而可判断其最值【详解】解：椭圆的左右顶点分别，因为点在椭圆上，所以设点的坐标为，对于A，所以A正确；对于B，因为，所以直线为，令，得，所以点的坐标为，所以，所以，所以B正确；对于C，因为，所以，所以，所以C正确；对于D，直线为，直线为，由两直线的方程联立方程组，解得，所以点的坐标为，因为，所以当时，所以的最大值为错误，故选：ABC【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出点的坐标为，然后求出直线的斜率，直线的方程，从而可求出点的坐标，再分析判断即可，属于中档题12AC【分析】构造函数，求导得到递减，然后根据单调性比较大小即可.【详解】令，则，从而递减，则，即，.故选：AC.13【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程【详解】的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，则切线的方程为故答案为：14【分析】根据点到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为，列出a，c的方程组，进而解出a，c，从而可得，再利用二次函数的性质即可求解.【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为，所以，所以，所以，因为，又，所以当所以的取值范围是.故答案为：.15【分析】根据函数在区间上单调递增，得到函数在上成立，再由题意即可得出的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上函数，所以设，函数在区间上单调递增，所以只需即可.故答案为：.16 【分析】根据题意，求得，得到，得出数列为等比数列，得到，进而求得和，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由数列满足，可得，又由，所以因为，可得，所以，由，可得，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，可得，所以，则，因为，适合上式，所以，所以数列的前20项的和为：.【点睛】方法总结：解决数列的新定义问题的要点分析：1，准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂题设中新定义的含义，将题目中所给的定义转化为题目要求的形式，切忌同已有的概念或定义相混淆；2、方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项（或特殊项，特定项）体会题意，仔细观察、对比、分析，从整体到局部多角度归纳、联想、抓住相邻项的联系、拆项后的各部分的特征、以及符号特征，从而找到恰当的解决方法.17(1)(2)【分析】（1）由已知条件列方程组求出，从而可求出其通项公式；（2）由通项公式可知数列有前7项和最大，从而可求得结果.【详解】（1）设首项为，公差为，因为等差数列满足，所以，解得，所以；（2）因为当时，当时，所以的最大值为，因为，所以.18（1）；（2）.【详解】（1）由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而故所求椭圆的标准方程为.（2）由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此,从而由,知，因此考点：考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力19答案见解析【分析】求出函数的定义域以及导函数，然后分，三种情况，根据导函数，即可得出函数的单调性.【详解】由已知可得，定义域为，所以.（）当时，.当时，有，在上单调递增；当时，有，在上单调递减.（）当时，解，可得，或（舍去负值），且.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，所以在上单调递减.（）当时，在上恒成立，所以，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增.20(1)或1(2)【分析】（1）利用图形的几何性质及点到直线的距离公式计算即可；（2）利于圆的几何性质及弦长公式计算即可.【详解】（1）由题意易知圆心，半径，易知直线l存在斜率，设其方程为：，若，则为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为或；（2）同上，设l方程为：，圆心到l的距离为，则易知，而，易知，所以.21(1)见解析(2)【分析】由已知根据等比数列的定义可得证是以3为首项，2为公比的等比数列；再由等比数列求得通项公式.（1）利用定义法证明等差数列等比数列.（2）由（1）得通项公式，根据错位相减法可求得.【详解】（1）又，从而因此，数列是以3为首项，2为公比的等比数列，于是，证明：，数列是等差数列，其首项为，公差为.由(*)可知，数列是等比数列，其首项为，公比为2.（2）由可知，即，由可知，即，两式相减得，【点睛】(1)证明等差等比数列方法：定义法，中项法(2)求前项和方法：分组求和；裂项相消；错位相减.22(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)证明见解析【分析】（1）利用导函数的正负求得函数单调性即可得出的单调区间；（2）对函数求导并判断单调性，利用单调性可得，即可知，求出函数最大值即可得出证明.【详解】（1）的定义域为，.令，得，此时函数单调递增；令，得，此时函数单调递减.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：令，则.当时，.当时，令，则，因为，所以，即单调递减.又，所以存在，使.当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，即可得.因为，所以，即，所以.因为，所以，且在上单调递减，所以，同时，可得.因为，所以，又因为，所以，即.【点睛】方法点睛：证明不等式问题可根据不等式的特征，合理构造函数并利用导数得出函数单调性，将不等式转化成求函数最值问题即可.