20232024学年上学期期中考试高二数学考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效4本卷命题范围：选择性必修一第一章至第三章一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）ABCD2已知分别是椭圆的左、右焦点，若是椭圆上一点，则（ ）A4B5C6D83经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）ABCD24如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（ ）ABCD5直线与圆的位置关系为（ ）A相交B相切C相交或相切D相离6阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆若动点与两定点的距离之比为，则动点所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（ ）ABCD7如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ）ABC1D8已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为（ ）ABCD10下列圆中与圆相切的是（ ）ABCD11设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则（ ）AB是等边三角形C的面积为D抛物线的方程为12如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ）AB与所成角的余弦值是C点到平面的距离为D过点的平面截四棱锥的截面面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知空间向量，且与垂直，则等于_14若直线与直线平行，则与之间的距离为_15已知抛物线的焦点为，准线为若与焦距为的双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为坐标原点），则双曲线的实轴长为_16已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知的顶点（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程18（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的正弦值19（12分）已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且（1）求此双曲线的方程；（2）若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，试求直线的方程20（12分）在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求实数的值21（12分）在直三棱柱中，点是线段上靠近点的三等分点（1）求的长；（2）求二面角的正弦值22（12分）已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数（1）求点的轨迹（2）设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，线段与轨迹交于点，求四边形的面积20232024学年上学期期中考试高二数学参考答案、提示及评分细则1D 点关于轴对称的点的坐标是2C 由椭圆的定义知，所以3B由 点，可得直线的斜率为，因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以4A 因为，所以，所以5C 由直线，得，所以直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆相交或相切6D 依题意，设，又动点与两定点的距离之比为，即，所以，整理可得，即，所以动点所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的方程为，其圆心为7B 如图，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，取，则，所以点到直线的距离为8C 因为，所以，即，又，所以，代入双曲线化简得，所以9AC 若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为，A正确；若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为，将代入方程得，则直线的方程为，C正确10AB 由题知，圆的圆心为，半径为5A选项，的圆心为，半径为2，故，由于，所以圆与内切，A正确；B选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与外切，B正确；C选项，的圆心为，半径为4，故，由于，故圆与不相切，C错误；D选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与不相切，D错误11ABD 由抛物线定义知，又，所以为正三角形，由面积为知边长为4，则，抛物线的方程为面积为12AC 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，所以，A正确；，则与所成角的余弦值为，故B错误；，设平面的法向量为，则可取，则点到平面的距离为，故C正确；设过点的平面与线段的交点为，则，因为共面，则共面，故存在唯一实数对使得，即，所以，解得，所以，则，因为，所以，所以过点的平面截四棱锥的截面面积为，故D错误13 因为，且与垂直，所以，解得14 由题意直线与直线平行，所以与之间的距离154 在双曲线的渐近线上，所以16 由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为点的轨迹是以为圆心半径为的圆设点到直线的距离分别为，所以，所以因为点到直线的距离为，所以，即，所以17解：（1）因为直线的斜率，所以所在直线的斜率，则所求直线方程为，即所以边上的高所在直线的方程为（2）因为线段的中点，所以边上的中线所在直线的斜率，则所求直线方程为，即所以边上的中线所在直线的方程为18解：（1）易知，又底面底面，故以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，即与所成角的大小为（用证明平面得参照给分）（2）由（1）知设平面的一个法向量为，则取，则所以是平面的一个法向量设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为19解：（1）令，因为，所以，所以，所以，由得，所以双曲线的方程为（2）由，知过点，且斜率存在，设的方程为，代入得由题知且，设，因为，所以，即此时，所以，所以，所以的方程为20解：（1）可设圆心，由已知得，从而有，解得：于是圆的圆心，半径所以圆的方程为（2）设，联立直线与圆的方程，消去，得，所以，由解得，所以，解得或，故实数的值为0或21解：（1）因为直棱柱的性质可知，又，故如图，以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则是上靠近点的三等分点，所以，即长为（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，则令，得平面的一个法向量为，又平面，平面的一个法向量为，所以，故二面角的正弦值为22解：（1）设点到直线的距离为，依题意，于是，化简得，即所以点的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆（2）设，又，则由，可得，则四边形面积为当直线斜率为0时，易知，又，则根据对称性不妨取，由得则，得此时；当直线斜率不为0时，设的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有：消去得：，由韦达定理，有所以，代入可得，解得，又原点到直线距离为，则此时综上可得，四边形面积为