江苏省南京市20242025学年高二上学期第一次调研（10月）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1若，则（）ABCD2已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（）A4.5B5C5.5D63已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（）ABCD4“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分（包括边界）的动点，则yx2的最小值为（）A23B32C43D235已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（）ABCD6设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD7在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（）ABCD8已知圆，设其与轴轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（）A20BC10D二、多选题（本大题共3小题）9设为两个随机事件，以下命题正确的是（）A若与对立，则B若与互斥，则C若，且，则与相互独立D若与相互独立，则10已知点A，B在圆上，点P在直线上，则（）A直线l与圆O相离B当时，的最小值是C当PA、PB为圆O的两条切线时，为定值D当PA、PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点11数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（）A曲线C上两点间距离的最大值为B若点在曲线内部（不含边界），则C若曲线C与直线有公共点，则D若曲线C与圆有公共点，则三、填空题（本大题共3小题）12已知，则 13若直线和直线将圆的周长四等分，则 14“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 四、解答题（本大题共5小题）15已知直线，点和点分别是直线上一动点.(1)若直线经过原点，且，求直线的方程；(2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离.16记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.17在四棱锥中，平面平面ABCD，(1)证明：平面PAD；(2)若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离18已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点(1)求证：的面积为定值(2)设直线与圆交于点，若，求圆的方程(3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.19已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.(1)求的值；(2)求的面积；(3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.参考答案1【答案】C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为，所以.故选：C.2【答案】C【详解】依题意，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故选：C.3【答案】C【分析】对等式两边同时平方即可得到，再利用向量数量积定义和向量夹角的范围即可得到答案.【详解】，即，即，则，又，的夹角为，故选C.4【答案】C【详解】记A2,0，则k=yx2为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2+y12=1,x0相切时，斜率k最小，设lAP:y=kx2，则|12k|k2+1=1，解得k=43或k=0（舍去），即yx2的最小值为43.故选：C.5【答案】B【详解】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为，故选：B6【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，且，即，又，综上所述，倾斜角的范围是.故选：C.7【答案】B【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，所以，又直线与平面所成角的最大值是，所以，当且仅当取最小值时取得最大值，因为，所以当时取最小值，此时，所以，又点在底面内，且，连接，因为平面，平面，所以，所以，所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，所以点的轨迹长为.故选：B8【答案】A【分析】分析可知，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解.【详解】对于圆，整理可得：，可知圆心为，半径为，令，则，解得或，即；令，则，解得或，即；因为与相外切，则，可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，则点的轨迹方程为，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20.故选A.【关键点拨】根据题意分析可知点的轨迹方程为，且，进而利用基本不等式即可得结果.9【答案】BD【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误.【详解】对于A，若与对立，则，故A错误；对于B，与互斥，则，故B正确；对于C，因为，故，故，故与不相互独立，故C错误；对于D，因为，所以，而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确.故选BD.10【答案】ACD【详解】对A：圆心O0,0到直线：的距离：.所以直线l与圆O相离，故A正确；对B：如图：当时，设中点为D，则，.所以的最小值为，故B错误；对C：如图：当PA、PB为圆O的两条切线时，.所以为定值.故C正确；对D：如图：当PA、PB为圆O的两条切线时，是圆与以为直径的圆的交点.设，则以为直径的圆的方程为：即，由得直线的方程为：.即.由，所以直线经过定点.故D正确.故选：ACD11【答案】BC【详解】当时，曲线，圆心，半径当时，曲线，圆心，半径当时，曲线，圆心，半径当时，曲线，圆心，半径曲线如图所示：曲线上两点间距离的最大值为，A选项错误.如图直线：，则在线段上，B选项正确；曲线C与直线有公共点，则圆心、到直线的距离小于或等于半径，则，则或者，则，C选项正确.原点到圆上的点最小距离，最大距离，故，D选项错误.故选：BC12【答案】【详解】因为，所以，所以.故答案为：13【答案】/【详解】由圆，可知圆心为，又直线和直线互相垂直，且两直线将圆的周长四等分，则圆心在两条直线上，即，解得，所以，故答案为：.14【答案】【详解】如图（1）所示，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点，表示的长度，因为直线的方程为，即直线的斜率，则，又因为，所以，所以，可得，即，所以，当固定点时，且平行轴时，此时点与点重合，此时为定值，此时AB为0时，最小，如图（2）所示，过点作直线的垂线，垂足为，交圆于点，可得，又由直线的斜率，可得，在直角中，可得.故答案为：.15【答案】(1)(2)【详解】（1）将化为一般式方程，得，,则两直线平行，故两直线的距离为，因为，所以和两直线垂直.因为的斜率为，所以.又因为直线经过原点，所以直线的方程为.（2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为，即所以点到原点的最短距离即点到直线的距离，因为点到直线的距离为.所以点到原点的最短距离为.16【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）由面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，即，化简得，又，所以.（2）由（1）及三角形面积公式，得，解得，由余弦定理得，所以的周长为.17【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据梯形边长利用勾股定理可得，再利用面面垂直性质定理可得结论；（2）利用面面垂直的性质可得三棱锥的高为，再利用等体积法计算即可求得点C到平面PBD的距离为.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，则因为平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，所以平面PAD（2）在面PAD内过点P作，因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD，如下图所示：因为，由（1）知平面PAD，根据线面垂直的性质有，在中，而，设点C到平面PBD的距离为h，由得，解得，所以点C到平面PBD的距离为18【答案】(1)证明见解析(2)(3)最小值为，【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证；（2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程；（3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标.【详解】（1）由题意可得圆的方程为：，化简可得，与坐标轴的交点分别为：，为定值.（2）如图所示，原点在线段的垂直平分线上，设线段的中点为，则，三点共线，又的斜率，解得，又，所以，可得圆心，圆的方程为：；（3）如图所示，由（2）可知：圆心，半径，设点关于直线的对称点为，则中点为，且，解得，即，则，又点到圆上点的最短距离为，则的最小值为，此时直线的方程为：，点为直线与直线的交点，则，解得，即点.19【答案】(1)(2)(3)过定点，【详解】（1）由题知：直线方程为，则由，得到，即，点为线段的中点，即，.（2）由，则圆心C2,0；到直线距离为，又到直线的距离为，边上的高为.（3）由圆与轴交于两点，得，不妨设直线的方程为，其中，在直线的方程中，令，可得，因为，则直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，则线段的中点为，圆的半径平方为，所以，以线段为直径的圆的方程为，即，由，解得，因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点.