20242025学年度第一学期高二年级数学科阶段测试一（概率+空间向量与立体几何）考试题（全卷共4页，供全级使用）成绩：_一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列事件：抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；实数a，b都不为0，但；某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，是随机事件；三角形三条高线一定交于一点，是必然事件；实数a，b都不为0，则，是不可能事件；某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，是随机事件，所以在给定的4个事件中，是随机事件.故选：A2. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A. 事件1与事件3互斥B. 事件1与事件2互为对立事件C. 事件2与事件3互斥D. 事件3与事件4互为对立事件【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,事件3可表示为：,事件4可表示为：,因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；因为为不可能事件，为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为为不可能事件，不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；故选：B.3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题运用投影向量定义即可解题.因，则故向量在向量上的投影向量是故选：C.4. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算得到，然后利用平方法即可求出答案.由于，所以，所以，故甲，乙两人相距70m故选：A5. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（）A. B. 0C. 5D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案.因为不能构成空间的一个基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得故选：C6. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，则下列说法正确的是（）A. 事件A与事件B互斥B. C. D. 事件A与事件B相互独立【答案】D【解析】【分析】利用古典概型计算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和对立事件定义可判断AB错误，由可知C错误，利用事件独立性定义可判断D正确.易知，同理可得，；由可得，即，对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，可得A错误；对于B，显然，即B错误；对于C，由可得，即所以，即C错误；对于D，易知，满足独立性定义，即D正确.故选：D7. 是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，设，当时，取得最小值，当或1，或1时，取得最大值0，所以的取值范围是.故选：B.8. 甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.57D. 0.575【答案】D【解析】【分析】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分甲先着子和乙先着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.由题意知，一二局甲胜的概率为：，一三局甲胜的概率为：，二三局甲胜的概率为：，因此最终甲胜的概率为，故选：D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 以下命题正确的是（）A. 两个不同平面，的法向量分别为，则B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C. 已知，若与垂直，则实数D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量判定线面、面面关系可判定AB，根据空间向量数量积的坐标表示可判定C，根据四点共面的充要条件可判定D.对于A，由题意知，所以，故A正确；对于B，由题意知，所以或，故B错误；对于C，由题意知，解之得，故C正确；对于D，由，即，所以四点共面，故D正确.故选：ACD10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字表示第一次抛掷骰子的点数，数字表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果记事件“”，事件=“”，事件=“”，则（）A. B. 与相互独立C. 与为对立事件D. 与相互独立【答案】AB【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；其中事件“”包含的样本点有：，共个；事件“”，包含的样本点有：，共个，事件 “”，包含的样本点有：，共个，对于A，故A正确；对于B，事件包含的样本点有，共3个，所以，所以，所以与相互独立，故B正确；对于C，包含的样本点个数满足，所以与不为对立事件，故C错误；对于D，事件包含的样本点有：，共6个，而，从而，所以与不相互独立，故D错误.故选：AB.11. （多选）在直三棱柱中，是的中点，则（）A. B. 若，则C. 在上存在一点，使得平面D. 若，则平面与平面不平行【答案】CD【解析】【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量坐标表示公式、空间向量模公式，结合平面向量的法向量逐一判断即可.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以，A错误；若，则，所以，B错误；当为中点时，平面平面，所以平面，C正确；若，则，所以设平面的法向量，平面的法向量，则，即，令，则，又，则，即，令，则，所以与不平行，D正确故选：CD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组.代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机数：137 996 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率_【答案】【解析】【分析】根据在这20 组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有组，即可得出结论.这20 组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：137、191、271、932、812、393共组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，故答案为：.13. 小刚参加一种答题游戏，需要解答A,B,C三道题，已知他答对这三道题的概率分别为，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为_ .【答案】#【解析】【分析】记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，合理计算，即可求解.解：记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，且，因为他恰好能答对两道题的概率为，可得，整理得，所以他三道题都答错的概率为.故答案为：.14. 已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面平面，得到如图2所示的几何体已知当点F满足时，平面平面，则的值为_图1 图2【答案】#【解析】【分析】应用空间向量法计算已知面面垂直即法向量垂直即可求参.如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，若是平面的一个法向量，则可得，若是平面的一个法向量，则可得由平面平面，得，即，解得故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知向量，且（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值【答案】（1）9；（2）.【解析】【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可；（2）结合（1）可得，再由夹角公式求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以，则，所以；【小问2详解】解：，设向量与夹角为，所以，所以向量与夹角的余弦值为16. 由数字1，2，3，4构成的两位数中抽取一个，求：（1）所抽到数为偶数的概率；（2）所抽到数为3的倍数的概率；（3）所抽到数个位和十位不相同的概率【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析】运用列举法，结合古典概型计算公式进行求解（1）（2）（3）即可.【小问1详解】数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中偶数有共8个，所以所抽到数为偶数的概率；【小问2详解】数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中3的倍数有共5个，所以抽到数为3的倍数的概率；【小问3详解】数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中个位和十位相同的数有共4个，所以个位和十位不相同的数有12个，所以抽到数为3的倍数的概率；17. 如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点.（1）若是中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）设，得到，求得平面的法向量为，根据平面，利用，列出方程，求得的值，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，设，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在正方形中，由，可得，又因为，所以，所以，可得，则，因为分别为中点，可得，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值.【小问2详解】解：因为，可得，设，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，若平面，可得，即可得，解得，所以，即存在点，使得平面，此时的值为.18. 在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为.（1）求的坐标（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据AC和BD的中点相同，利用中点坐标公式求解；（2）由（1）得到，再利用向量的夹角公式求解.【小问1详解】解：设，因为AC和BD的中点相同，且，所以，所以，所以；【小问2详解】由（1）知：，则，所以.19. 九章算术中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，.（1），用a，b，c表示；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解；（2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.【小问1详解】如图所示，连接，可得，因为为的中点，且，所以，所以.【小问2详解】因为，所以，因为平面，平面，且平面,平面，所以，又因为，所以，所以.