第2课时含30角的直角三角形的性质教学目标课题13.3.2第2课时含30角的直角三角形的性质授课人素养目标1.掌握含30角的直角三角形的边角性质.2.经历探究含30角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.3.合理应用含30角的直角三角形的性质，强化应用意识.教学重点含30角的直角三角形的性质的发现与应用教学难点含30角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图由熟悉的三角板引入课题.【情境引入】我们经常使用的三角板，其中一块含有30的锐角量一量30角所对的直角边的长度，再量一量这块三角板斜边的长度，它们有什么关系？大胆猜一猜.【教学建议】 让学生测量后自由回答.活动二：观察猜想，探究求证设计意图结合等边三角形的知识推出含30角的直角三角形的性质.探究点含30角的直角三角形的性质如图，将两个含30角的全等的三角尺摆放在一起你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？问题1两个三角尺构成的图案，恰好是一个三角形吗？是的ACBACD9090180，所以点B，C，D在一条直线上所以两个三角尺构成的图案恰好是一个三角形.问题2ABD是不是等边三角形？说明理由.是因为两个三角形尺全等，所以ABAD.因为BACDAC30，所以BAD303060.所以ABD是等边三角形.问题3你能说说BC与AB的长度关系吗？BCAB.理由：因为BCCD，所以BCBD.因为ABD是等边三角形，所以BDAB.所以BCAB.你还能用其他方法证明上面的结论吗？已知：如图，在RtABC中，C90，A30.求证：BCAB.证明：如图，在AB边上截取BEBC，连接CE.在RtABC中，ACB90，A30，B903060.又BEBC，BCE是等边三角形.BECEBC，BCE60.ACB90，ACEACBBCE30.又A30，AACE.AECEBCBE.BCAB.【教学建议】给学生强调，使用含30角的直角三角形的性质时，其前提是在直角三角形中，不要忽视.这个结论的逆命题也是成立的，即直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30(教学中不必补充，对于学有余力的学生，可做适当介绍).教学步骤师生活动归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【对应训练】1教材P81练习2.如图,AOB30,点C在射线OB上，若OC6，则点C到OA的距离等于3.活动三：实际应用，加深理解设计意图例1与对应训练1是在实际场景中运用含30角的直角三角形的性质，注意体会直角三角形中角与边的联系.设计意图利用例2与对应训练2补充应用场景，注意体会含30角的直角三角形的性质的其他应用形式.例1(教材P81例5)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB7.4 m，A30.立柱BC，DE要多长？解：DEAC，BCAC，A30，BCAB，DEAD. BC7.43.7(m). 又ADAB，DEAD3.71.85(m).答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.例2如图，灯塔C在海岛A的北偏东75方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60方向.(1)求B处到灯塔C的距离；(2)已知在以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.解：(1)根据题意得BAC907515，CBE906030，AB15230(n mile)，ACB301515.BACACB.BCAB30 n mile.答：B处到灯塔C的距离为30 n mile.(2)会有触礁的危险理由：如图，过点C作CDAB于点D.CBD30，BC30 n mile，CDBC15 n mile.1516，该船继续由西向东航行会有触礁的危险.【对应训练】1.如图是屋架设计图的一部分，其中A30，点D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DE2 m，求AB的长. 解：DEAE，A30，AD2DE.D是AB的中点，AB2AD4DE8 m.2.一张展开后桌面平行于地面的折叠型方桌如图甲，从正面看如图乙，已知AOBO50 cm，CODO40 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为120，求桌面到地面的距离.【教学建议】通过例1与对应训练1给学生说明，在运用含30角的直角三角形的性质时，斜边与直角边可以互相推出.【教学建议】通过例2与对应训练2给学生说明，有时直角三角形没有直接给出，需先作垂线构造直角三角形，再运用含30角的直角三角形的性质其中，根据点到直线的距离作垂线段是一种常见的考查形式.教学步骤师生活动解：如图乙，过点D作DEAB于点E.AOBO50 cm，CODO40 cm，ADAODO504090(cm).AOBO，AOB120，AB30.DEAD9045(cm).又桌面与地面平行，可知桌面到地面的距离是45 cm.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见创优作业“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边与斜边有什么关系？【知识结构】【作业布置】1.教材P83习题13.3第15题.2.创优作业主体本部分相应课时训练板书设计第2课时含30角的直角三角形的性质含30角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半教学反思 在探究30角所对的直角边与斜边的关系时，学生说理的方法比较多样化，在教学中对于这种现象，要尽可能地对学生进行肯定.解题大招一寻找隐含的30角解题在运用含30角的直角三角形的性质时，有时30角题目中并没有直接给出，这时需仔细观察图形，找出隐藏的30角如，碰到等边三角形，则考虑60角的余角为30，或60角平分后得到30角；碰到底角为15的等腰三角形，则考虑利用三角形外角的性质得到30的角例1如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，DEBC于点E，AB4.求CE的长分析：根据等边三角形的性质得到CD的长，又由DEBC，可求得CDE30，则可进一步求得CE的长解：ABC是等边三角形，C60，ACAB4.D是AC的中点，CDAC2.DEBC，CED90，CDE90C30.CECD1.例2如图，在等边三角形ABC中，M是BC的中点，MNAB，垂足为N，连接AM，求证：AM2MN.分析：利用等边三角形的性质及ABC “三线合一”的性质推知BAM30，再利用含30角的直角三角形的性质可得出结论证明：ABC为等边三角形，ABAC，BAC60.又M为BC的中点，BAMBAC30.MNAB，AM2MN. 例3如图，在RtABC中，ACB90，B15，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD13 cm，求AC的长解：AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，ADBD13 cm. DAEB15.ADCDAEB30.又ACB90，ACAD6.5 cm.例4如图，在ABC中，ABAC，BAC120，P是BC上一点，且BAP90，CP6 cm.求BP的长分析：先根据等腰三角形的性质及等角对等边求得APCP，再利用含30角的直角三角形的性质求得BP的长即可解：ABAC，BAC120，BC30.BAC120，BAP90，PACBACBAP30.CPAC.APCP6 cm.BAP90，B30，BP2AP12 cm.解题大招二先构造直角三角形，再利用含30角的直角三角形的性质解题类型1作辅助线形成斜边例5如图，在ABC中，C90，A15，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE8 cm，求BC的长分析：连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得BEAE8 cm，从而可得ABE15，然后利用三角形外角的性质可得CEB30，最后在RtCEB中利用含30角的直角三角形的性质进行计算解：如图，连接BE.DE是AB的垂直平分线，BEAE8 cm.ABEA15. CEBAABE30.C90，BCBE4 cm.类型2作辅助线形成直角边例6如图，在ABC中，ABC60，AB18，点D在BC上，ADAC，若BD5，求CD的长分析：解：如图，过点A作AEBC于点E，则AEB90.B60，BAE90B30.BEAB.AB18，BE9.BD5，DEBEBD954.ADAC，AECD，CD2DE8.培优点利用含30角的直角三角形的性质解决动点问题例如图，在ABC中，A90，B30，AC6 cm，点D从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发沿CB以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t s，解决以下问题：(1)当t为何值时，DEC为等边三角形？(2)当t为何值时，DEC为直角三角形？分析：(1)根据等边三角形的判定条件列方程求出t的值；(2)分两种情况讨论：DEC为直角，EDC为直角，在两种情况下分别利用30角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值解：(1)根据题意可得ADt cm，CD(6t)cm，CE2t cm.A90，B30，C90B60，当CDCE时，DEC为等边三角形6t2t.t2.当t为2时，DEC为等边三角形(2)若DEC为直角三角形，分两种情况讨论：当DEC为直角时，EDC90C30，CECD，即2t(6t)t；当EDC为直角时，DEC90C30，CDCE，即6t2t.t3.综上所述，当t为或3时，DEC为直角三角形