13.3等腰三角形133.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学目标课题13.3.1第1课时等腰三角形的性质授课人素养目标1.探索并证明等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(“三线合一”).2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算.3.经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力.教学重点1.探索并证明等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算.教学难点等腰三角形性质的证明.教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾旧知，引入新知设计意图回顾等腰三角形、轴对称等相关知识，为后面的探究学习做铺垫.【回顾导入】等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？【教学建议】 (1)让学生说说等腰三角形中相等的量；(2)让学生直观判断各种三角形是否为轴对称图形.活动二：动手操作，发现规律设计意图通过亲手操作得出等腰三角形，为后面的探究做准备.探究点等腰三角形的性质问题1如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的ABC有什么特点？上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即ABC中ABAC，所以ABC是等腰三角形.问题2观察、实验把剪出的等腰三角形ABC沿折痕 对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段有：AB与AC，BD与CD.重合的角有：B与C，BAD与CAD，ADB与ADC.【教学建议】由折叠、剪纸的过程，很容易得出ABC是一个轴对称图形，折痕就是它的对称轴教学中可适时提醒学生注意这一点.教学步骤师生活动设计意图利用轴对称的性质，引导学生得出等腰三角形的性质，培养综合归纳的能力.设计意图让学生经历观察、实验、猜想、论证的过程，体验数学知识的探究方法，感知数学理论的严谨性.问题3在等腰三角形ABC中，AD是什么特殊的线段？既是顶角的平分线，又是底边上的中线，也是底边上的高问题4猜想等腰三角形有什么性质？说说你的猜想(1)等腰三角形的两个底角相等(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合问题5在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折你的猜想仍然成立吗？成立归纳：等腰三角形的性质：性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).问题6论证如图，ABC中，ABAC，作底边BC的中线AD.求证：BC，AD平分顶角BAC，AD垂直于底边BC. 证明：在BAD和CAD中， BADCAD(SSS) BC.(这样，我们就证明了性质1)由BADCAD，还可以得出BADCAD，BDACDA，从而ADBC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角BAC并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边这也就证明了性质2.从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴【对应训练】 教材P77练习第13题【教学建议】(1)性质1很容易得出，对于性质2，要引导学生注意对称轴在等腰三角形中的多重含义(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高)，从而归纳出“三线合一”【教学建议】性质2实际上包含了三个命题的证明，让学生完成另外两种情况的证明：(1)把辅助线AD改为底边BC上的高，证明它是顶角的平分线和底边BC上的中线；(2)把辅助线AD改为顶角BAC的平分线，证明它是底边BC上的中线和底边BC上的高教学步骤师生活动活动三：知识综合，巩固提升设计意图通过例1和对应训练1强化学生对等腰三角形性质1的掌握.通过例2和对应训练2使学生掌握对等腰三角形性质1和性质2的综合运用.例1(教材P76例1)如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD.求ABC各角的度数.解： ABAC，BDBCAD， ABCCBDC，AABD(等边对等角).设Ax，则BDCAABD2x，从而ABCCBDC2x.于是在ABC中，有AABCCx2x2x180.解得x36.所以，在ABC中，A36，ABCC72.例2如图，在ABC中，ABAC，AE是BC边上的中线，BF是角平分线，C70.求BAE和1的度数. 解：ABAC，C70，ABCC70.ABAC，AE是BC边上的中线，AEBC，即AEB90.BAE90ABE20.ABC70，BF是ABC的平分线，CBFABC35.由三角形外角的性质可知，1AEBCBF9035125.【对应训练】1.如图，点D是ABC中BC边上的一点，且ABACCD，ADBD，求BAC的度数.解：ABAC，BC.BDAD，BDAB.ACCD，DACADCBBAD2B. BACBADDACB2B3B.又BCBAC180，5B180.B36.BAC3B108.2.如图，在ABC中，ABAC，BAC120，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BDBE，求ADE的度数.解：ABAC，BAC120，BC(180BAC)30BDBE BDEBED(180B)75ABAC，AD是BC边上的中线，ADB90.ADEADBBDE907515.【教学建议】通过例1和对应训练1给学生说明，等腰三角形的性质1常与三角形内角和定理结合考查，必要时需用到方程思想.【教学建议】通过例2和对应训练2给学生说明，等腰三角形的两个性质要熟练掌握，关于“三线合一”，见到其中一种表述，要迅速将它转化为另外两条线.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见创优作业“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.等腰三角形的性质1是什么？2.等腰三角形的性质2是什么？ 【知识结构】【作业布置】1.教材P81习题13.3第1，3，4，6，7，9，13题.2.创优作业主体本部分相应课时训练板书设计13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.“等边对等角”.2.“三线合一”教学反思 本节课通过折叠、裁剪引入等腰三角形，再根据轴对称的特点归纳出等腰三角形的性质，并利用三角形的全等对这些性质进行了证明，培养了学生的推理能力在如何用几何语言表述要证明的命题时，学生缺乏自主意识，今后要在教学中有意识地对学生多进行这方面的考查.解题大招一等腰三角形中的分类讨论类型1等腰三角形的底角、顶角不明时，需分情况进行讨论，此时注意与三角形内角和定理的结合例1(1)在等腰三角形ABC中，A130，求B的度数；(2)在等腰三角形ABC中，A40，求B的度数分析：(1)因为A130，根据三角形内角和定理可知，A为顶角；(2)根据三角形内角和定理，因为A4010，能构成三角形当底边长为8时，三边长为9，9，8.899，能构成三角形故此等腰三角形的腰长为8或9.(2)若等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少？解：分两种情况：当3为底边长时，其他两边长都为7.三边长3，7，7可以构成三角形，所以周长为17.当3为腰长时，其他两边长为3和7.因为3367，所以不能构成三角形，故舍去所以等腰三角形的周长为17.解题大招二“三线合一”的运用等腰三角形中的条件转化：例3如图，在ABC中，ABAC，ADBD，DEAB于点E.若BC4，BDC的周长为10，则AE的长为（ B ）A2.5B3C3.5D4解析：BC4，且BDC的周长为10，BDCD1046.ADBD，ADCD6.AC6.ABAC，AB6.ADBD，DEAB，AEAB3.故选B.例4如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且DEAE.(1)求证：DEAC；(2)若ADE24，求C的度数分析(1)证明：ABAC，AD是BC边上的中线，CADBAD.DEAE，BADADE.CADADE.DEAC.(2)解：ADE24，CADADE24.ABAC，AD是BC边上的中线，ADBC.ADC90.C90CAD66.例5下面是证明等腰三角形的性质2“三线合一”时的三个命题，请完成这三个命题的证明.分析：命题一：由“SAS”证明ABDACD；命题二：由“SSS”证明ABDACD；命题三：由“HL”证明RtABDRtACD.命题一：证明：AD平分BAC，BADCAD.在ABD和ACD中，ABDACD(SAS)BDCD，ADBADC18090.ADBC.命题二：证明：D为BC的中点，BDCD.在ABD和ACD中，ABDACD(SSS)BADCAD，ADBADC18090.ADBC.命题三：证明：ADBC，ADBADC90.在RtABD和RtACD中，RtABDRtACD(HL)BDCD，BADCAD.培优点构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题例【问题呈现】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图，在ABC与DEF中，ABDE，17，ACBCDF.求证：329.【方法探究】以下是小强的方法：证明：如图，延长AC至点G，使CGBC，连接BG.CGBC，45.()34525.接下来只需证明59，小强就能解决该问题了(1)中应填写的理论依据为等边对等角(2)请补全证明过程【方法总结】 从上面的方法可以看出，通过“化折为直”，不仅可以构造等腰三角形，还可以得到角的倍分关系，可谓一举两得【方法应用】 (3)如图，在ABC与ADC中，若BACDAC30，ACB110，ADCDAB，则D80.分析：(1)利用了等腰三角形的性质1等边对等角；(2)证明ABGDEF(SAS)，由全等三角形的性质得出59，即可得出结论；(3)延长AD到点E，使DECD，证明BACEAC(SAS)，得出BE.由三角形内角和定理得出B40，再根据ADCDCEE可得出答案解：(2)补全过程为：ACBCDF，ACCGDF，即AGDF.在ABG和DEF中，ABGDEF(SAS)59.329.(3)解析：如图，延长AD到点E，使DECD，连接CE，则ADDEADCDAB，即AEAB.又BACEAC，ACAC，BACEAC(SAS)BE.BAC30，ACB110，B180BACACB1803011040.E40.DECD，DCEE40.ADCDCEE404080.