单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,隐函数是函数关系另一个表现形式.讨论隐函数存在性、连续性与可微性,不但是出于深刻理解这类函数本身需要,同时又为后面研究隐函数组存在性问题打好了基础.,11.1 隐函数存在性,四、隐函数求导数举例,一、隐函数概念,二、隐函数存在性条件分析,三、隐函数定理,第十一章 隐函数,第1页,第1页,方程式所拟定函数,通常,称为隐函数,比如：,一、隐函数概念,显函数：,因变量可由自变量某一分析式来表示,函数称为显函数比如：,隐函数：,自变量与因变量之间关系是由某一个,隐函数普通定义：,第2页,第2页,则成立恒等式,有惟一拟定,与之相应,能使,且满足方程(1),则称由方程(1)拟定了一个定义在 ,值域含于,隐函数.假如把此隐函数记为,第3页,第3页,取值范围比如由方程可拟定下列两,个函数：,注2,不是任一方程 都能拟定隐函数,比如 显然不能拟定任何隐函数,注1,隐函数普通不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这,与它能否用显函数表示无关,注3,隐函数普通需要同时指出自变量与因变量,第4页,第4页,在,2,还要讨论由多个方程拟定隐函数组问题.,注4,类似地可定义多元隐函数比如:,由方程,拟定隐函数,由方程,拟定隐函数,等,等.,第5页,第5页,二、隐函数存在性条件分析,条件时，由方程(1)能拟定隐函数 ,并使,要讨论问题是：当函数 满足如何一些,该隐函数含有连续、可微等良好性质?,(a),把上述看作曲面 与坐标,平面交线，故至少要求该交集非空，即,，满足,连续是合理,(b),为使 在 连续，故要求 在点,第6页,第6页,由此可见，是一个主要条件,点 存在切线，而此切线是曲面 在点,切平面与 交线，故应要求 在,(c),为使 在 可导，即曲线在,点 可微，且,(d),在以上条件下，通过复合求导数,由(1)得到,第7页,第7页,三、隐函数定理,定理11.1,(隐函数存在惟一性定理),设方程(1)中,函数 满足下列四个条件：,(i),在以 为内点某区域 上连续；,(ii),(初始条件)；,(iii),在 内存在连续偏导数 ；,(iv),则有下列结论成立：,第8页,第8页,在 上连续,惟一地拟定了一个隐函数,它满足：,且当 时,使得,证,首先证实隐函数存在与惟一性,证实过程归结起来有下列四个环节(见图11,1)：,存在某邻域 ，在 内由方程(1),第9页,第9页,(c),同号两边伸,(d),利用介值性,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,图,111,第10页,第10页,(a)“一点正,一片正”,由条件(iv),不妨设,由于 连续，因此依据,保号性，使得,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,第11页,第11页,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(b)“正、负上下分”,因 故,把 看作 函数，它在 上,严格增，且连续(据条件(i),尤其对于函数,由条,第12页,第12页,由于 关于 连续，故由,(b)结论，依据保号性，使得,(c),同号两边伸,(c)“同号两边伸”,(d)“利用介值性”,因,关于 连续,且严,格增，故由(c)结论，依据介值性定理,存在惟,第13页,第13页,(d),利用介值性,满足,一,就证得存在惟一隐函数:,由任意性,这,若记 则定理结论 得证,下面再来证实上述隐函数连续性:,欲证上述 在 连续.,第14页,第14页,类似于前面(c)，使得,由 对 严格增，而,推知,.,.,图,112,足够小，使得,如图 112 所表示,取,第15页,第15页,在 上处处连续,因此 在连续.由任意性,便证得,且当 时，有,类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有,第16页,第16页,注1,定理 11.1 条件(i)(iv)既是充足条件,又,是一组十分主要条件.比如：,在点 虽,不满足条件(iv)，但仍能拟定惟一隐函数,(双纽线),在,点 同样不满足,条件(iv);如图113,所表示,在该点无论多,图,113,么小邻域内,确实,第17页,第17页,用这两个较强条件，一则是使用时便于检查，,作用,二则是在后面定理 11.2 中它们还将起到实质性,注3,读者必须注意,定理 11.1 是一个,局部性,隐,函数存在定理比如从以上双纽线图形看出:除了,三点以外,曲线上其余各点处都,注 2,条件(iii)、(iv)在证实中只是用来确保在邻,域 内 关于为严格单调之因此采,不能拟定惟一隐函数.,第18页,第18页,存在局部隐函数 (这不难用定理 11.1 加,以检查，见后面第四段例),注4,在方程 中,与 地位是平等,.当条件(iii)、(iv)改为,时，将存在局部连续隐函数,连续,且,“,”,第19页,第19页,定理 11.2,(隐函数可微性定理),设函数 满,足定理 11.1 中条件(i)(iv),在 内还存在连,续 .则由方程 所拟定隐,函数 在,I,内有连续导函数，且,(注:其中,示于定理11.1 证实(d).,第20页,第20页,使用微分中值定理,使得,证,设则,由条件易知,F,可微，并有,第21页,第21页,显然也是连续函数,因 都是连续函数,故 时,并有,第22页,第22页,(3),注1,当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函,数也二阶可导应用两次复合求导法，得,将(2)式代入上式，经整理后得到,第23页,第23页,注2,利用公式(2),(3)求隐函数极值:,(a)求使 点 ,即 解,(b)在点 处因，而使(3)式化简为,(4),(c)由极值判别法,当 时,隐函数,在 取得极大值(或极小值),第24页,第24页,设在以点 为内点某区域 上,则存在某邻域 在其内存在惟一、连,续可微隐函数 ，且有,注3,由方程,(5),拟定隐函数相关定理简述下列：,F,所有一阶偏导数都连续，并满足,第25页,第25页,(6),更普通地，由方程,拟定隐函数 相关定理,见华,师大下册 p.149 上定理18.3,这里不再详述.,第26页,第26页,解,令 它有连续,求解 分别得到,四、隐函数求导数举例,例1,试讨论双纽线方程,所能拟定隐函数,第27页,第27页,再考虑隐函数极值由于,在其它所有点处都存在局部可微隐函数,因此，除 这三点外，曲线上在其它,所有点处都存在局部可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,第28页,第28页,性又知,第29页,第29页,各点处都能拟定局部隐函数,例2,讨论笛卡儿叶形线(图114),(7),所拟定隐函数 存在,性，并求其一阶、二阶导数,解,令,先求出在曲线(7)上使,点为,.除此两点外,方程(7)在其它,图 11,4,第30页,第30页,然后再算出:,为了使用公式(3),先算出:,由公式(2)求得,第31页,第31页,第32页,第32页,平切线和垂直切线,类似于例1 办法,求出曲线上使 点为,在几何上，它是两条曲线,和,交点(见图).容易验证,因此,隐函数在点 取得极大值,以上讨论同时阐明,该曲线在点 和 分别有水,例3,试求由方程 所拟定隐,函数 在点 处全微分,第33页,第33页,解法 1(形式计算法),对方程两边微分，得,将 代入，又得,解法 2(隐函数法),设,由于 上处处连续,而,第34页,第34页,因此在点,P,附近能惟一地拟定连续可微隐函数,且可求得它偏导数下列：,以 代入,便得到,例4,用隐函数办法处理反函数存在性及其导数.,解,设 在 某邻域内有连续导函数,且 现在来考察方程,第35页,第35页,由于,因此只要 就能满足隐函数定理所有,条件,由方程(8)便能拟定连续可微隐函数,(8),因它满足 故它就是,反函数.应用隐函数求导公式,可得,第36页,第36页,故将此两式相加便得所需结果.,例 5,设 是由方程,所拟定隐函数,其中,F,含有连续二阶偏导数,试证:,证,易知 于是有,由此得到 再分别对,x,与,y,求偏导数,又得 因在假设条件下,第37页,第37页,1,在隐函数定义中，为何强调必须指出,3,设能拟定连续可微隐函数:,(由此能阐明些什么?),验证：,2,在定理 18.1 对隐函数连续性进行证实时，,复习思考题,因变量取值范围？(结合例题加以阐明.),最后为何要用到隐函数惟一性？,第38页,第38页,4.,试对例3 两种解法(形式计算法与隐函数,法)作一比较,指出两者各有哪些优缺点?,第39页,第39页,