,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,线性规划应用题,线性规划应用题,1,1,叙述线性规划的图解法步骤：,画画出线性约束条件所表示的可行域；,移在目标函数所表示的一组平行线中，利用,平移的方法找出与可行域有公共点且纵（横）截距最,大、最小的直线；,求通过解方程组求出最优解；,答作出答案,第1页/共35页,1叙述线性规划的图解法步骤：画画出线性约束条件所表示,2,导入新课,应用数学模型法解决实际问题的基本步骤：,实际问题,数学模型,实际问题的解,数学模型的解,推理演算,第2页/共35页,导入新课应用数学模型法解决实际问题的基本步骤：实际问题数学模,3,在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排动用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任,务的人力、物力资源量最小本节课主要研究这两类问题,第3页/共35页,在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们经常会碰到,4,例,1,：投资生产,A,产品时，每生产,100t,需要资金,200,万元，需场地,200m,2,可获利,300,万元；投资生产,B,产品时，每生产,100m,需要资金,300,万元，需场地,100m,2,可获利,200,万元,.,现某单位可使用资金,1400,万元，场地,900m,2,问,：,应作怎样的组合投资，可使获利最大？,分析：,这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成表格，以方便理解题意：,然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，,最后用图解法求解,第4页/共35页,例1：投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需,5,解：设生产,A,产品,x,百吨，生产,B,产品,y,百米，利润为,s,百万元,则约束条件为,目标函数为,作出可行域（如图），,将目标函数变形为,，它表示斜率为,，在,轴上截距为,的直线，平移直,线,当它经过直线,和,的交点 时，,最大，,即,s,最大,此时,因此，生产,A,产品,325,吨，生产,B,产品,250,米时，利润最,大为,1475,万元,第5页/共35页,解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为s百万元则约,6,例,2,某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品,1t,需耗,A,种矿石,10t,、,B,种矿石,5t,、煤,4t,；生产乙种产品,1t,需耗,A,种矿石,4t,、,B,种矿石,4t,、煤,9t,每,1t,甲种产品的利润是,600,元，每,1t,乙种产品的利润是,1000,元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗,A,种矿石不超过,300 t,、,B,种矿石不超过,200 t,、煤不超过,360 t,甲、乙两种产品各生产多少（精确到,1 t,），能使利润总额达到最大？,第6页/共35页,例2某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品1t需耗A种,7,第7页/共35页,第7页/共35页,8,依据题中已知条件，列表如下：,甲产品（,1t,）,乙产品（,1t,）,资源限额（,t,）,A,种矿石（,t,）,10,4,300,B,种矿石（,t,）,5,4,200,煤（,t,）,4,9,360,利润（元）,600,1000,资源,消耗品,产品,第8页/共35页,依据题中已知条件，列表如下：甲产品（1t）乙产品（1t,9,求,取何值时，目标函数,已知变量,满足约束条件,取得最大值,建立数学模型：,第9页/共35页,求,取何值时，目标函数已知变量,满足约束条件取得最大,10,求解：,采用上节课所讲的图解法求出最大值,，,第10页/共35页,求解：采用上节课所讲的图解法求出最大值，第10页/共3,11,第二类问题,即给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务,第11页/共35页,第二类问题第11页/共35页,12,例,3,、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供,0.075kg,的碳水化合物，,0.06kg,的蛋白质，,0.06kg,的脂肪，,1kg,食物,A,含有,0.105kg,碳水化合物，,0.07kg,蛋白质，,0.14kg,脂肪，花费,28,元；而,1 kg,食物,B,含有,0.105kg,碳水化合物，,0.14kg,蛋白质，,0.07kg,脂肪，花费,21,元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物,A,和食物,B,多少,kg,？,食物,kg,碳水化合物,kg,蛋白质,/kg,脂肪,kg,A,0.105,0.07,0.14,B,0.105,0.14,0.07,分析：将已知数据列成表格,第12页/共35页,例3、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.07,13,解：设每天食用,xkg,食物,A,，,ykg,食物,B,，总成本为,z,，那么,目标函数为：,z,28x,21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,第13页/共35页,解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么目,14,把目标函数,z,28x,21y,变形为,x,y,o,5/7,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为,随,z,变化的一组平行直线系,是直线在,y,轴上的截距，当截距最小时，,z,的值最小。,M,如图可见，当直线,z,28x,21y,经过可行域上的点,M,时，截距最小，即,z,最小。,第14页/共35页,把目标函数z28x21y 变形为xyo5/75/76/7,15,M,点是两条直线的交点，解方程组,得,M,点的坐标为：,所以,z,min,28x,21y,16,由此可知，每天食用食物,A143g,，食物,B,约,571g,，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为,16,元。,第15页/共35页,M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin,16,解线性规划问题的步骤：,（,2,）,移,：在线性目标函数所表示的一组平行,线中，利用平移的方法找出与可行域有公共,点且纵截距最大或最小的直线；,（,3,）,求,：通过解方程组求出最优解；,（,4,）,答,：作出答案。,（,1,）,画,：画出线性约束条件所表示的,可行域,；,第16页/共35页,解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组,17,某工厂用,A,、,B,两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件,甲产品,使用,4,个,A,配件耗时,1h,，每生产一件,乙产品,使用,4,个,B,配件耗时,2h,，该厂每天最多可从配件厂获得,16,个,A,配件和,12,个,B,配件，按每天工作,8h,计算，该厂所有可能的,日生产安排,是什么？,A,配件（个）,B,配件（个）,耗时（,h),甲产品,乙产品,限 制,4,1,4,2,16,8,12,一、实际问题,第17页/共35页,某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生,18,设,甲、乙,两种产品分别生产,x,、,y,件,，由已知条件可得二元一次不等式组,第18页/共35页,设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等,19,将不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的,整点,（,坐标为整数,）就代表所有可能的日生产安排。,y,x,4,8,4,3,o,x+2y=8,x=4,y=3,第19页/共35页,将不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为,20,提出新问题：,若生产一件,甲,产品获利,2,万元,，生产一件,乙,产品获利,3,万元,，采用那种生产安排,利润最大,？,A,配件（个）,B,配件（个）,耗时（,h),利润（万元）,甲产品,4,1,乙产品,4,2,限 制,16,12,8,2,万元,3,万元,第20页/共35页,提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙,21,y,x,4,8,4,3,o,M,设工厂获得的利润为,z,，则,z,2x,3y,把,z,2x,3y,变形为,它表示斜率为 在,y,轴上的截距为 的直线。,当,z,变化时，可以得到,一族互相平行,的直线。,2x+3y=0,令,z=0,作直线,2x+3y=0,第21页/共35页,yx4843oM设工厂获得的利润为z，则z2x3y 把z,22,由上图可以看出，当经过直线,x=4,与直线,x+2y-8=0,的交点,M,（,4,，,2,）,时，截距 的值最大，最大值为 ，,这时,2x+3y=,14,.,所以，每天生产甲产品,4,件，乙产品,2,件时，工厂可获得最大利润,14,万元,。,y,x,4,8,4,3,o,M,（,4,2,）,(,Z,max,=2x+3y=24+32=14,),第22页/共35页,由上图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点,23,试求满足上述约束条件的，且使目标函数,取得最小值（其中、均为正整数）,设需截第一种钢板张，第二种钢板张，由题,中表格得,第23页/共35页,试求满足上述约束条件的，且使目标函数取得最小值（其中、,24,2,第二类问题实例,例,3,要将两种大小不同的钢板截成,A,，,B,，,C,三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的决数如下表所示：,A,规格,B,规格,C,规格,第一种钢板,2,1,1,第二种钢板,1,2,3,规格类型,钢板类型,今需要,A,，,B,，,C,三种规格的成品分别为,15,，,18,，,27,块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少,第24页/共35页,2第二类问题实例 例3 要将两种大小不同的钢板截成A,25,解：,演示课件,直线，此直线经过直线和直线,（为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的,作出一组与直线平行的直线中,的交点，直线方程为,第25页/共35页,解：演示课件 直线，此直线经过直线和直线,26,点）且与原点距离最近的直线是，,由于和都不是整数，而最优解中，,必须都是整数，所以，可行域内的点不是最,优解经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的,经过的整,点,是和，它们是最优解,第26页/共35页,点）且与原点距离最近的直线是，由于和都不是,27,课堂练习,某工厂家具车间造型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工做一张型桌子分别需要,1,小时和,2,小时，漆工油漆一张型桌子分别需要,3,小时和,1,小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过,8,小时和,9,小时，而工厂一张型桌子分别获利润,2,千元和,3,千元，试问工厂每天应生产型桌子各多少张，才能获利润最大？,第27页/共35页,课堂练习 某工厂家具车间造型两类桌子，每张桌子需木工和,28,目标函数为,.,获利润为 千元，则,设每天生产型桌子张，型桌子张，每天所,解：,第28页/共35页,目标函数为.获利润为 千元，则设每天生产,29,且与原点距离最大，此时取得最大值,上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点，,如图，作出可行域，把直线：,向右,第29页/共35页,且与原点距离最大，此时取得最大值上方平移至的位置,30,答：每天应生产型桌子,2,张，型桌子,3,张才能,解方程组,得,.,获最大利润,第30页/共35页,答：每天应生产型桌子2张，型桌子3张才能解方程组,31,小结,1,解线性规划实际问题的一般步骤；,2,线性规划问题的二类题型,第31页/共35页,小结 1解线性规划实际问题的一般步骤；第31页/共35页,32,1,课本作业 ，习题,7.4,，第,3,、,4,题,布置作业,第32页/共35页,1课本作业 ，习题7.4，第3、4题 布置作业 第,33,某工厂生产和两种产品，按计划每天生产 产品各不得小于，已知生产产品需用煤，电,4,度，劳动力,3,个（按工作日计算）；生产产品需用煤，电,5,度，劳动力,10,个如果产品每吨价值,7,万元，产品每吨价值,12,万元，而且每天用煤不超过,300,，用电不超