单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,8.4,矩阵的相似,*,2 矩阵的,标准形,3 不变因子,1 矩阵,4 矩阵相似的条件,6 假设当(Jordan)标准形,的理论推导,5 矩阵相似的条件,小结与习题,第八章,矩阵,8.4 矩阵相似的条件,定理：,数字矩阵 相似 与等价.,8.4 矩阵的相似,设,P,为数域 若有 ，,那么A与B相似.,证：由,得,即,引理,1,：,使,A与B,相似.,8.4 矩阵的相似,对任意 及任意 -矩阵,使,一定存在 -矩阵 及,引理,2,：,8.4 矩阵的相似,证：,这里 且,设,i),若 则令,ii）,若 设,这里 为待定矩阵.,于是,8.4 矩阵的相似,要使式成立，只需取,即,即可.,同理可证.,8.4 矩阵的相似,设 ，则,A与B,相似,特征矩阵 与 等价.,定理：,证：,假设A与B相似，那么存在可逆矩阵T，,于是,由定理,6,之推论，得,与 等价.,使,8.4 矩阵的相似,若 与 等价，,则存在可逆 矩阵 ，使,及 ，使,存在 矩阵,由引理,2,，对于,A,，,8.4 矩阵的相似,由，有,即，,比较两端，得,8.4 矩阵的相似,下证,T,可逆.,由有，,即,比较两端，得,8.4 矩阵的相似,故,T,可逆.,由引理,1,，,A与B,相似.,于是,推论,:,设 则 相似,特征矩阵 与 有相同的不变因子.,证:相似,与 等价.,与 有相同的不变因子.,8.4 矩阵的相似,矩阵,A,的不变因子.,推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.,注：,因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子,定义为此线性变换的不变因子.,矩阵,A,的特征矩阵 的不变因子也称为,对 有秩,从而，,A有,n,个不变因子，这,n,个,不变因子的乘积,等于,即，,8.4 矩阵的相似,例1.证明：以下三个矩阵彼此都不相似.,证：的不变因子是：,的不变因子是：,的不变因子是：,8.4 矩阵的相似,故 的不变因子各不相同.,彼此不相似.,8.4 矩阵的相似,