,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,弹性杆件横截面上的,正应力分析,第,4,章,弹性杆件横截面上的第4章,1,、,与应力分析相关的截面图形几何性质,2,、平面弯曲时梁横截面上的,正应力,3,、斜弯曲时梁横截面上的,正应力,4,、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,第,4,章 弹性杆件横截面上的正应力分析,5,、基于最大正应力的强度计算,1、与应力分析相关的截面图形几何性质 2、平面弯曲时梁横截,与应力分析相关的截面图形几何性质,1,、横截面面积,常见的横截面有：,矩形,A=h,b;,圆形,A=,R;,b,h,R,2,、静矩、形心,截面面积对轴的矩称为静矩：,图形几何形状的中心称形心：,与应力分析相关的截面图形几何性质1、横截面面积bhR2、静,3,、惯性矩、极惯性矩、惯性半径,惯性矩,-,惯性半径,-,极惯性矩,-,与应力分析相关的截面图形几何性质,3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径 与应力分析相关的截面图形几何,4,、常见形体的惯性矩、极惯性矩,a,、矩形截面的惯性矩,b,、圆形截面的惯性矩,C,、圆环截面的惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,b,h,d,y,z,y,z,d,y,z,D,d,4、常见形体的惯性矩、极惯性矩 与应力分析相关的截面图形几何,d,、圆形截面的极惯性矩,e,、圆环截面的极惯性矩,4,、形心主惯性矩,图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩，,与应力分析相关的截面图形几何性质,d、圆形截面的极惯性矩 与应力分析相关的截面图形几何性质,例,4-1,、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩,I,y,;I,z,;,解：由负面积法,I,z,=H b/12 h b/12=b(H-h)/12;,I,y,=b H/12 b h/12=b(H-h)/12;,与应力分析相关的截面图形几何性质,b,h,z,y,H,例4-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩 Iy;Iz;,小鸟,与应力分析相关的截面图形几何性质,与应力分析相关的截面图形几何性质,与应力分析相关的截面图形几何性质,与应力分析相关的截面图形几何性质,1,、平面弯曲的概念,梁的对称面：梁的横截面具有,对称轴，所有相,同的对称轴组成,的平面。,形心主轴平面：所有相同的形,心主轴组成的平,面。,平面弯曲：所有外力都作用在梁,的同一主轴平面内，,梁的轴线在该平面中,弯曲成曲线。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,1、平面弯曲的概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力,纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩作用的情况，如梁的,BC,段。截面上只有正应力。,横向弯曲：梁的横截面上既有剪力也有弯矩，如梁的,AB,段。因而其上既有正应力也有切应力。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,C,B,l/5,F,A,l/5,M,F,F,Fl/5,F,D,3l/5,F,Q,F,Ay,F,Dy,+,+,-,x,x,纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩作用的情况，如梁的BC段。截面上,2,、纯弯曲时梁的正应力分析,纯弯曲梁的正应力分析需要三个步骤：,平面弯曲时梁横截面上的正应力,应力分布,应力公式,变,形,应变分布,平面假定,物性关系,静力方程,2、纯弯曲时梁的正应力分析 平面弯曲时梁横截面上的正应力应,平面弯曲时梁横截面上的正应力,M,M,中性轴,a,、应用平面假设确定应变分布,1,）弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。,平面弯曲时梁横截面上的正应力MM,2,）梁弯曲时的平面假设,梁变形后周边表面的横向线仍然是直线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截面在变形前后仍然保持为平面，只是相对转过一个角度,d,。,3,）沿梁横截面高度方向正应力表达式：,平面弯曲时梁横截面上的正应力,2）梁弯曲时的平面假设 平面弯曲时梁横截面上的正应力,b,、应用虎克定理确定横截面上正应力分布,由虎克定律,将上述应变公式带人得：,=E,即：正应力与高度坐标成线性关系,=-E y/,其中,表示该点的曲率半径，它如何表达呢？,平面弯曲时梁横截面上的正应力,b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布 平面弯曲时梁横截面上,c,、应用静力方程确定正应力公式,由,由,平面弯曲时梁横截面上的正应力,y,x,z,A,z,y,x,M,z,c、应用静力方程确定正应力公式 平面弯曲时梁横截面上的正应,将 带人公式,得正应力公式：,正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比；,与截面的惯性矩成反比。应力分布如图：,平面弯曲时梁横截面上的正应力,y,x,z,A,z,y,x,M,z,将 带人公式 平面弯曲时梁横截面上的正应力y,d,、中性轴在横截面上的位置,中性轴通过横截面的形心，并且垂直于形心主轴。,e,、最大正应力公式与弯曲截面模量,对于横截面上正应力最大值,其中,W,z,=I,z,/y,max,称为弯曲截面系数；,平面弯曲时梁横截面上的正应力,max,max,d、中性轴在横截面上的位置 平面弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲截面系数,:,W,z,=I,z,/y,max,;,*,矩形截面的弯曲截面系数,:,W,z,=b h/6;,*,圆形截面的弯曲截面系数,:,W,z,=,d/32;,*,圆环截面的弯曲截面系数,平面弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲截面系数:Wz=Iz/ymax;平面弯曲,f,、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式,公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。,3,、弯曲正应力公式的应用与推广,a,、梁上最大正应力位置的判定,需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素；,b,、纯弯曲正应力公式可以推广到横向弯曲,纯弯曲正应力公式在横向弯曲也是近似适用的。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式 平面弯曲时梁横截面上的,平面弯曲时梁横截面上的正应力,例题,4-2,受均布荷载简支梁如图,已知梁的截面为矩形,b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.,试求最大弯矩截面,B,上,1,、,2,两点的正应力。,C,B,q,A,l/2,l/2,h,b,h/4,z,y,2,1,平面弯曲时梁横截面上的正应力例题4-2 受均布荷载简支梁,平面弯曲时梁横截面上的正应力,解：,1,、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置,M,ZB,=q l/8;,2,、计算正应力,1,点的正应力：,为拉伸应力,2,点的正应力：,为压缩正应力,C,B,q,A,Fq,M,h,b,h/4,z,y,2,1,l/2,l/2,x,x,+,+,-,平面弯曲时梁横截面上的正应力解：1、作梁的内力图，确定最大,平面弯曲时梁横截面上的正应力,C,B,F,P,A,200,150,96.4,z,y,50,1,50,例题,4-3,丁字截面简支梁受力如图,已知梁的参数：,试求最大弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。,l/2,l/2,平面弯曲时梁横截面上的正应力CBFPA20015096.4,平面弯曲时梁横截面上的正应力,C,B,F,P,A,l/2,Fq,M,200,150,96.4,z,y,50,1,50,解：,1,、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。,M,z,B,=F,p,l/4=16 kNm;,2,、计算最大弯矩截面上最大正应力,最大拉伸正应力：,位置在梁的下边缘处,最大压缩正应力：,位置在梁的上边缘处。,思考：,对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限 度地发挥了材料的强度潜力？,x,M,Z,max,+,max,F,p,l/4,l/2,+,+,-,x,x,平面弯曲时梁横截面上的正应力CBFPAl/2FqM2001,斜弯曲时梁横截面上的正应力,1,、产生斜弯曲的加载条件,当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面时，这种弯曲称斜弯曲。如图：,F,P2,F,P1,变形平面,合力作用平面,y,z,斜弯曲时梁横截面上的正应力1、产生斜弯曲的加载条件FP2F,斜弯曲时梁横截面上的正应力,2,、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力,当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横截面上的正应力可以应用叠加法确定。如图：,其最大正应力：,公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外）。,y,z,C,y,z,C,max,+,max,斜弯曲时梁横截面上的正应力2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的,斜弯曲时梁横截面上的正应力,圆形截面斜弯曲梁的最大正应力：,例,4-4,图示矩形截面梁已知：,b=90mm;,h=180mm;F,p1,=800N;F,p2,=1650N;l=1m;,试求梁内最大弯曲正应力及作用位置。,斜弯曲时梁横截面上的正应力圆形截面斜弯曲梁的最大正应力：,解：,1,、,确定梁截面上的内力分量，,梁的内力如图：最大弯矩在固定端处。,M,ymax,=-F,p1,l;,M,zmax,=-F,p2,l;,2,、,确定梁根部截面上最大正应力作用点：,如图,A,点处是两拉应力相加；,B,点处是两压应力相加。,3,、计算最大正应力,:,斜弯曲时梁横截面上的正应力,F,P1,F,A1,M,Ay,F,Q,M,y,F,P2,F,A2,M,Az,F,Q,M,z,x,x,x,x,x,x,z,z,2F,P!,l,F,P2,l,M,y,M,z,A,A,B,B,y,y,-,-,-,-,max,+,max,解：1、确定梁截面上的内力分量，梁的内力如图：最大弯矩在固定,纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。,将载荷向截面形心简化得到两个内力分量：,F,N,x 0;Mz0;,其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力：,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,F,P,F,P,F,P,F,P,M,z,M,z,纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,例,4-5,图示开口链环由直径,d=12mm,的园钢制作而成。试求：,1,）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力；,2,）、当链环焊接成闭口状态应力如何？,800N,800N,800N,800N,21mm,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力例4-5 图示开口链,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,解：,1,、计算开口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图；横截面上弯矩：,横截面上正应力,（如图所示）,800N,800N,800N,800N,M,z,c,max+,max,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力解：1、计算开口链环,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,课外练习：,4-1,；,4-5,；,4-9,；,4-14,2,、,计算闭口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图：横截面上只有拉应力。,比较两种形式链环的正应力大小相差近,22,倍。,400N,800N,800N,800N,400N,c,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力课外练习：4-1；,课堂练习,4-1,图示矩形截面柱，,已知：外加载荷,F,P,以及横截面尺寸,。,试求,ABED,截面上四个角点上的正应力,。,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,偏心压缩：压力沿轴线方向但与轴线不重合。,课堂练习4-1 图示矩形截面柱，已知：外加载荷FP以及横截,解：,1,、,确定截面上的内力分量，在,ABDE,横截面将柱截开由力的平移定理,将力,平移到横截面的形心处，内力如图,：,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,解：1、确定截面上的内力分量，在ABDE横截面将柱截开由