单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,几个初等函数的麦克劳林公式,小结 思考题 作业,泰勒,(Taylor),（英）,1685-1731,近似计算与误差估计,其它应用,第六节 泰勒,(,Taylor,),公式,第三章 微分中值定理与导数的应用,泰勒公式的建立,1几个初等函数的麦克劳林公式小结 思考题 作业 泰勒(,2,简单,的,多项式函数,特点,(1),易计算,函数值,;,(2),导数与积分仍为,多项式,;,(3),多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及,导数值,确定,.,而其系数,?,用怎样的多项式去逼近给定的函数,误差又如何呢,?,一、,泰勒公式的建立,熟悉,的函数来近似代替复杂函数,.,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒公式,2简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分,3,回想微分,一次多项式,泰勒公式,3回想微分一次多项式泰勒公式,4,（如下图）,如,以直代曲,泰勒公式,4（如下图）如 以直代曲泰勒公式,5,需要解决的问题,如何提高精度,?,如何估计误差,?,不足,1.,精确度不高；,2.,误差不能定量的估计,.,希望,一次多项式,用适当的,高次多项式,泰勒公式,误差是 的高阶无穷小,问题,(1),系数怎么定?,(2),误差,(,如何估计,),表达式是什么,?,5需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足1.精,6,猜想,2.,若有相同的切线,3.,若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.,若在 点相交,1.,n,次多项式系数的确定,泰勒公式,6猜想2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1,7,假设,泰勒公式,7假设泰勒公式,8,同理可得,即,泰勒公式,8同理可得即泰勒公式,9,从而,泰勒公式,9从而泰勒公式,10,说明,:,有直到,n,阶导数时,多项式,泰勒公式,有相同的函数值及,直到,n,阶导数值,.,从而,称为,n,阶泰勒多项式,.,称为,泰勒系数,.,10说明:有直到n阶导数时,多项式泰勒公式有相同的函数值及直,11,公式,称为,n,阶泰勒公式,.,称为,n,阶余项,.,注意,:,泰勒公式,11公式称为n阶泰勒公式.称为n阶余项.注意:泰勒公式,12,下面给出带皮亚诺,(Peano),余项的泰勒公式,.,定理,1 (,带皮亚诺,(Peano),余项的泰勒公式,),设,则,带有皮亚诺,型,余项,n,阶泰勒公式,泰勒公式,12下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.定理1,13,证明,:,对于,连续地用,n-1,次落必达法则,最后一次用定义即可证明,.,泰勒公式,13证明:对于连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定,14,下面的定理将指明,:,可以用它的泰勒多项式逼近,函数,并估计它的误差,.,泰勒公式,14下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近函数并估计它的,15,定理,2 (,带拉格朗日,(Largrange),余项的泰勒公式,),设,则,泰勒,(,Taylor,),中值定理,泰勒公式,15定理2 (带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公,16,分析,即证,也即证,其中,泰勒公式,16分析即证也即证其中泰勒公式,17,证,令,由要求,泰勒公式,17证令由要求泰勒公式,18,柯西定理,柯西定理,用,1,次,用,2,次,泰勒公式,18 柯西定理 柯西定理用1次用2次泰勒公式,19,如此下去,得,用,n+,1,次柯西定理,注意到,即,可得,泰勒公式,19如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式,20,拉格朗日型余项,带有拉格朗日型余项,泰勒公式,20拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式,21,注意,:,Taylor,公式为,即为,Lagrange,中值公式,.,则,泰勒公式,21注意:Taylor公式为即为Lagrange中值公式.则,22,泰勒公式,特别,若,则,说明,:,随,n,的增大可任意小,因此可选取适当的,n,使近似代替达到,要求的任意精度,.,22泰勒公式特别,若则说明:随n的增大可任意小,因此可选取适,23,皮亚诺,型,余项,1858-1932,),皮亚诺,(,Peano,G.,(,意,),当对余项要求不高时,可用,皮亚诺,型,余项,带有皮亚诺,型,余项,(4),展开式是唯一的,泰勒公式,23皮亚诺型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.,24,(5),在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即,按,x,的幂,(,在零点,),展开的泰勒公式称为,:,n,阶泰勒公式,麦克劳林,(,Maclaurin,C.(,英,)1698-1746),公式,泰勒公式,24(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点),25,麦克劳林,(,Maclaurin,),公式,近似公式,误差估计式为,带有拉格朗日型余项,带有,皮亚诺,型,余项,泰勒公式,25麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带,26,解,代入上公式,得,二、几个初等函数的麦克劳林公式,例,1,麦克劳林公式,.,麦克劳林,(,Maclaurin,),公式,于是有,的近似表达公式,泰勒公式,26解代入上公式,得二、几个初等函数的麦克劳林公式例1麦克劳,27,有误差估计式,得到,其误差,其误差,泰勒公式,27有误差估计式得到其误差其误差泰勒公式,28,解,例,2,因为,泰勒公式,所以,28解例2因为泰勒公式所以,29,误差为,泰勒公式,29误差为泰勒公式,30,泰勒公式,泰勒多项式逼近,30泰勒公式泰勒多项式逼近,31,类似地,有,泰勒公式,31类似地,有泰勒公式,32,解,练习,泰勒公式,一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项,.,的一阶泰勒公式是,其中,三阶泰勒公式是,32解练习泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.,33,常用函数的麦克劳林公式,泰勒公式,要熟记,!,33 常用函数的麦克劳林公式泰勒公式要熟记!,34,泰勒公式,34泰勒公式,35,泰勒公式,35泰勒公式,36,例,3,解,用间接展开的方法较简便,.,两端同乘,x,得,带拉格朗日型余项的公式展开问题,注,一般不能用这种方法,.,泰勒公式,36例3 解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得,37,须解决问题的类型,:,(1),已知,x,和误差界,要求确定项数,n,;,(2),已知项数,n,和,x,计算近似值并估计误差,;,(3),已知项数,n,和误差界,确定公式中,x,的,三、近似计算与误差估计,适用范围,.,泰勒公式,37须解决问题的类型:(1)已知x 和误差界,要求确定项,38,例,4,解,已知,x,和误差界,要求确定项数,n,泰勒公式,38例4 解 已知x 和误差界,要求确定项数n泰勒公式,39,满足要求,.,泰勒公式,39满足要求.泰勒公式,40,四、其它应用,常用函数的泰勒展开求,例,5,型未定式,泰勒公式,解,因为分母是,4,阶无穷小,所以只要将函数展开到,4,阶无穷小的项就足以定出所给的极限了,.,40四、其它应用常用函数的泰勒展开求例5 型未定式泰勒公式,41,求极限,练习,41求极限练习,42,利用泰勒公式可以证明不等式,(,多个点的函数值的关系,).,例,6,证明,:,提示,:,泰勒公式,凸函数的定义,42 利用泰勒公式可以证明不等式 (多个点的函数值的关,43,例,7,设,上的最小值,.,求证,:,提示,:,利用泰勒公式可以证明不等式,(,有关高阶导与函数值的关系,).,泰勒公式,43例7 设上的最小值.求证:提示:利用泰勒公式,44,例,8.,设,求证,:,提示,:,泰勒公式,44例8.设求证:提示:泰勒公式,45,利用泰勒公式可以证明不等式,(,有关高阶导与函数值的关系,).,例,9,证明,:,提示,:,泰勒公式,45 利用泰勒公式可以证明不等式 (有关高阶导与函数值,46,五、小结,多项式局部逼近,.,了解泰勒,(,Taylor,),公式在近似计算中的应用,.,泰勒,(,Taylor,),公式的数学思想,熟记常用函数的麦克劳林公式,;,掌握泰勒,(,Taylor,),公式的其他应用,.,泰勒公式,46五、小结 多项式局部逼近.了解泰勒(Taylor)公式,47,解,故由于,有,因,显然,泰勒公式,思考题,47解故由于有因显然,泰勒公式思考题,48,作业,习题,3.6(148,页,),5.6.(5),泰勒公式,48作业习题3.6(148页)5.6.(5)泰勒公,