单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,CHAP.4 直梁的弯曲,弯曲概念与梁的分类,1弯曲的概念及实例,图1 实例：两台设备安装在两根横梁上的简图，简化为力学模型,G/2,G/2,R,A,R,B,受力特点：,a.作用在杆件上的载荷和支座反力均垂直于杆件的轴线。轴线在杆件变形前为直线，变形后成为曲线。区别于拉伸，外力作用于轴线上,b.外力彼此相距较远，某些横截面上虽有剪力或扭矩，但就整个梁来说，弯曲是主要的。,但凡具备上述受力特点，并产生弯曲变形的杆件梁广义，如卧式容器，塔设备等。,CHAP.4 直梁的弯曲,平面弯曲实例1,CHAP.4 直梁的弯曲,平面弯曲实例2,CHAP.4 直梁的弯曲,2)梁的几何形状和名称,讨论一具有等矩形截面的梁，梁l，h，b，lh，lb。,梁的轴线：通过所有横截面型心的直线，坐标轴x轴即梁的轴线方向,梁的对称平面:连接所有横截面垂直对称轴的平面mnminiy轴即对称轴方向,z轴方向是垂直xy平台，且通过横截面形心，这样就确定了坐标轴的三个方向。上述的梁，就为具有对称平面的等直梁。其截面可以是矩形，还可以是圆、圆环、工字形、丁字形等。,CHAP.4 直梁的弯曲,平面弯曲当作用在梁上的所有横向力均作用在梁的对称平面内时，那么,在梁发生弯曲变形以后，梁的轴线便在对称平面内弯成一条曲线，这种,弯曲成为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最根本且最常见的情况，这,章主要讨论梁的平面弯曲的强度和刚度问题。,3)梁上的外力、梁的支座及分类,CHAP.4 直梁的弯曲,工程上梁的支承情况很复杂，可以简化归纳为以下三种典型形式：,a.固定铰链支座阻止梁在支座处沿水平和垂直方向移动，但不能阻止梁绕铰链中心转动。因此其受力情况 用位移表示,b.活动铰链支座阻止梁沿支座面的法线方向移动。因此其受力情况,用位移表示,c.固定端使梁即不能沿水平方向和竖直方向移动，也不能绕某一点转动,因此其受力情况 用位移表示,CHAP.4 直梁的弯曲,实际上工程结构的受力情况，可以视具体情况简化为上述三种形式之一，根据梁的支承情况，可将梁简化为三种。力学模型如下考虑关于梁本身的简化，梁通常用某轴线表示,简支梁,梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座,;,外伸梁,支座情况同上，梁的一端或两端伸出在支座之外,;,悬臂梁,梁的一端固定，另一端自由外伸,CHAP.4 直梁的弯曲,例4-1 一塔器，高h，自重w，受到集度为qN/m的水平方向风载荷作用，,试求支座反力。,解：可将塔器视为一端固定的悬臂梁。固定端处约束反力有三个，H,V,m，取整体塔器为别离体，由静力平衡方程,简化算法，qh的力作用在轴长度中央,CHAP.4 直梁的弯曲,2.梁的内力分析,作用在梁上外载荷在传递载荷过程中，力所经过的各个横截面都将产生相应的内,力，如何进行梁的内力分析,可通过静力平衡和变形两方面分析。,1静力平衡,仍以前图所示横梁为例，由静力平衡及RA=RB=P,CHAP.4 直梁的弯曲,AC,段：分析,1,1,截面，切开,1,1,截面，取其左边一段，该段梁上另作用有一向上的外力,RA,，根据静力平衡，得到在,1,1,截面的左侧作用着,Q1,M1,，,Q1,梁在该截面上的剪力，,M1,梁在该截面上的弯矩，,Q1,，,M1,是,1-1,截面右侧作用于左侧的，截面左侧同时作用给右侧同样大小的力。应当把作用在同一截面左右二侧的剪力和弯矩看成一个。剪力、弯矩是成对出现的。,b.CD段,CD段任一截面22，Q=0，M2=PxP(xa)Pa设AC=DB=a,CHAP.4 直梁的弯曲,由此可见，弯曲梁的各个截面上作用着不同的Q,M，AC段，即有Q，又有M横力弯曲剪切弯曲,CD段纯弯曲。,2 变形分析定性,梁未受外载荷,在CD段任取二个相邻横截面a1b1c1d1a2b2c2d2,画上三条纵向线m1m2，o1o2,n1n2梁的1/2高度处，当梁上施加外载荷及支座反力RA,RB后，我们发现：,CHAP.4 直梁的弯曲,a.纵向纤维由直变弯。o1o2以上局部，m1m2缩短，o1o2以下局部，m1m2伸长，而o1o2不变。这说明梁的上半局部受到纵向压缩，梁的下半局部受到纵向拉伸，而且离开o1o2线越远的纵向线，它们被拉长或缩短的数量越大。,b.各条横向线a1b1，c1d1，a2b2仍为直线。由此假设，梁的横截面的变形后仍是一个平面，且仍与已经成为弧线的m1m2,n1n2相重合。并且仍垂直于变形后梁的轴线。平面假设试验理论得到证明。,c.横向线a1b1与a2b2由相互平行变为不再平行。这说明相邻两平面a1b1c1d1，a2b2c2d2,发生了相对移动，转动轴位置通过平面O点,并垂直于梁的对称平面。,CHAP.4 直梁的弯曲,截面的中性轴Z方向。将梁所有横截面上的中心轴连接起来形成梁的中性层通过截面形心，且垂直于截面的垂直对称轴线。显然，梁发生平面弯曲时，中性层内的纵向纤维长度不变。,几个名词：梁的轴线、梁的对称平面，横截面的中性轴，垂直对称轴，梁的中性层。正是由于梁的一系列相邻横截面之间发生了绕各自中性轴的相对转动，所以才导致了梁的由直变弯，以及梁的纵向纤维的伸长、缩短。,CHAP.4 直梁的弯曲,现在来分析梁弯曲的任一横截面上弯曲应力情况。,假想将梁沿平面截开：,由于纵向纤维受到不同程度的拉伸、压缩，因此该截面上必定作用着正应力，与拉伸不同，非均布。在中性层以上纵向纤维缩短，产生压缩应力，在中性层以下纵向纤维伸长，产生拉伸应力，中性层处应力0。,作用在横截面上这些正应力，由于中性轴以上是压应力，中性轴以下是拉应力。于是无数微面积dA上的力对中性轴构成了一个合力矩即前面提到的弯矩M,CHAP.4 直梁的弯曲,内力矩的产生伴随着梁的相邻横截面之间发生相对转动，随着外载荷增加而增加；内力矩作用，阻止该截面在外力矩作用下企图发生的进一步转动起着平衡力矩作用并且力图恢复梁的变形。,弯矩、剪力总是成对出现的，大小相等，方向相反。,3.剪力与弯矩的计算,由上一节分析可知，任一截面上的剪力，其作用是抵抗该截面一侧所有外力对该截面的剪力作用,其大小应该等于该截面一侧所有横向外力之和。,任一截面上的弯矩，其作用是抵抗该截面一侧所有外力使截面绕其中性轴转动，它的大小应等于该截面一侧所有外力对改截面中性轴取矩之和。,剪力、弯矩均有二种方向，须规定其“正负：由于Q,M均是内力，其正负要根据变形而定。,CHAP.4 直梁的弯曲,1剪力正负的规定,根据剪切变形的方向，规定剪力Q的正负。通常规定：如果产生图a所示的变形，此变形是使截面左边的梁发生相对截面右侧梁的向上滑动那么伴随这种变形产生的剪力是正值，反之，是负。,法那么：梁的任一横截面上剪力大小等于该截面一侧所有横向外力的代数和，截面左侧向上的合外力和截面右侧向下的合外力取正值。反之，取负。可以理解为合外力和剪力组成顺时针转向，取“，逆时针转向，取“，而不须考虑截面左右侧,CHAP.4 直梁的弯曲,2弯矩正负的规定,弯矩正负的规定也要依据变形。弯曲变形的实质是两个相邻横截面之间发生绕各自中性轴的相对转动。伴随这种转动，横截面上才有弯矩产生。一种相对转动是使二相邻横截面之间的纵向间距发生上边缩短，下边伸长的变形图a，伴随这种相对转动而在该截面上所发生的弯矩，通常规定为正，反之为负。,也即横截面上存在的“上半部受压，下半部受拉的正应力对中性轴取矩构成正的弯矩。反之，构成负的弯矩。向上的外力均产生正的弯矩，向下的外力均产生负的弯矩。,弯矩法那么：,梁在外力作用下，其任意指定截面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取矩的代数和。但凡向上的外力，其矩取正值，向下的外力，取负值。假设是集中力偶，那么截面左侧顺时针转向，截面右侧逆时针转向的力偶取正值，反之取负值。,CHAP.4 直梁的弯曲,3剪力图和弯矩图,横截面上的剪力、弯矩随截面的位置发生变化。假设以梁的左端为原点，沿梁的轴线建立x轴，于是，梁各个横截面上的剪力Q、弯矩M均可表示为截面所在位置坐标x的函数，剪力方程和弯矩方程。,同绘制轴力图或扭矩图一样，按选定的比例尺，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横坐标，把 的图线表示出来。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。,目的分析找出梁内 的大小及其横截面所在位置危险截面，从而进行梁的强度计算。,下面分别讨论集中力、集中力偶、均布载荷作用下的Q、M图。,CHAP.4 直梁的弯曲,例1：集中力作用 AC=a=0.25m,BE=b=0.2m,AB=l=1m,P1=500N,P2=1000N,P3=300N,步骤：a.根据静力学平衡条件，求出未知约束反力及力偶,RA=935N,RB=865N；,b.分段、逐段计算剪力，定特殊点，画出剪力图；,c.分段、逐段计算弯矩，定出特殊点，画弯矩图,d.对于复杂梁，可采用分解，合成法，先分解为假设干受力情况简单的梁，然后叠加而成。,CHAP.4 直梁的弯曲,Qx图：,AC段：Q=RA=935N,CD段：Q=RAP1=435N,DE段：Q=RAP1P2=565N,EB段：Q=RB=865N,Mx图:,AC段：M=RAX=935x,CD段：M=RAxP1(x0.25),=435x125,DE段：M=RAxP1(x0.25)P2(x0.5),=565x625,EB段：M=RBlx=865x865,集中力作用的截面上，剪力有个突变，此时弯矩图上是个转折点图形仍连续,CHAP.4 直梁的弯曲,集中力偶作用处，,M,x,图有突变，突变值大小等于集中力偶值，,Q,x,图不变。,例2：集中力偶作用,Qx图：AC段,CB段,Mx图：AC段,CB段,截面左侧的m逆时针取负值,假设按右侧考虑，,CHAP.4 直梁的弯曲,例3：均布载荷作用,AC=BD=a，CD=l，载荷集度q,Qx图：CA段,AB段,BD段：,Mx图:,CA段,AB段,BD段,CHAP.4 直梁的弯曲,当 载荷分布较合理,此值为卧式容器支座的合理位置。,均布载荷作用下，剪力图是一条斜线，,弯矩图是一抛物线；,M,MAX,发生处位于,Q=0,，集中力或集中力偶,作用处,。,CHAP.4 直梁的弯曲,4.纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件,我们已经学会分析梁受复杂载荷平面弯曲时，任一横截面Q,M的变化规,律从而画出Q=Q(x)，M=M(x)，求出剪力、弯矩最大值及其危险截面位置。,但是Q,M仅是截面上应力、力矩的总和，尚需知道横截面上应力分布规,律，这是本节的重点。1是任意横截面上指定点的正应力大小；2是梁的强,度计算；,为了简化问题，我们讨论纯弯曲问题的梁，从变形分析、物理关系、静力关系三大关系中讨论。,1 任意横截面内指定点的正应力,1 变形分析,上一节，已经知道，梁在纯弯曲后的变形特点：,a.纵向纤维由直变弯,b.横向线仍为直线，横截面任为平面,c.相邻两横截面之间发生绕各自中性轴的相对移动，导致了梁的由直变弯，以及纵向纤维的伸长、缩短。,CHAP.4 直梁的弯曲,现在来寻找横截面上正应力变化规律，推导其计算公式。为此须对纵向,纤维的线应变作进一步的定量分析。,仍取相邻二截面a1b1c1d1,a2b2c2d2，坐标系取法同前，x轴中轴线为正，y轴截面垂直于对称轴 为正，Z轴垂直于xy平面中性轴方向，原点通过截面形心。,变形前,变形后,CHAP.4 直梁的弯曲,图a是变形前情况，三条纵向线m1m2=o1o2=n1n2=dx,图b是弯曲以后情况，相邻二横截面发生了绕各自中性轴的相对移动，于是有：,中性层上纵向纤维o1o2变成弧线，其长度不变，但其曲率半径由,b.其它位置上纵向纤维有不同程度的拉伸n1n2或缩短m1m2。,任取一距中性层为y的纵向纤维n1n2来研究，弯曲后弧线n1n2,变形前n1n2o1o2弧线o1o2,于是,其纵向线应变,又因,上式中 表示的是梁某截面a1b1c1d1与相邻截面之间发生的相对移动程,度大小，而 表示梁的轴线在所讨论截面形心处的曲率变化量。,从不同角度反映了梁在讨论的横截面处的弯曲变形梯度。,4-1,4-2