,数学物理方程与特殊函数,第1章,典型方程和定解条件的推导,*,*,汤 燕 斌,华中科技大学数学与统计学院,数学物理方程与特殊函数,11/14/2024,1,汤 燕 斌数学物理方程与特殊函数10/10/20231,数学物理方程与特殊函数,数学和物理的关系,课程的主要内容,数学和物理从来是没有分开过的,数学物理方程的定义,用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。,三种方程、四种求解方法、二个特殊函数,分离变量法,行波法,积分变换法,格林函数法,波动方程,热传导,拉普拉斯方程,贝塞尔函数,勒让德函数,11/14/2024,2,数学物理方程与特殊函数 数学和物理的关系 课程的主要内容,哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla,拉普拉斯算子,微积分知识回顾,与梯度算子有关的场论运算,平面上的拉普拉斯算子,常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、,二阶线性方程,傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、,余弦级数,11/14/2024,3,哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla 拉普拉斯算子 微积分,拉普拉斯方程：,热传导方程：,波动方程：,三类偏微分方程,两种特殊函数,贝塞尔方程,勒让德方程,琴弦的振动；,杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等,热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动,空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布,的解：贝塞尔函数,的解：勒让德函数,11/14/2024,4,拉普拉斯方程：热传导方程：波动方程：三类偏微分方,一、基本方程的建立,第一章 一些典型方程和,定解条件的推导,二、定解条件的推导,三、定解问题的概念,11/14/2024,5,一、基本方程的建立第一章 一些典型方程和二、定解条件的,常见数学物理方程的导出,确定所要研究的物理量,u,，比如位移、场强、温度,根据物理规律建立微分方程,通过合理的数学近似对方程进行化简,数学物理方程,定解问题,的提法,泛定方程,（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）,定解问题,：,定解条件,（初始条件，边界条件）,11/14/2024,6,常见数学物理方程的导出确定所要研究的物理量u，比如位移、场强,一、基本方程的建立,条件,：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。,例1、弦的振动,研究对象,：,线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。,11/14/2024,7,一、基本方程的建立条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微,弦振动的相关模拟,11/14/2024,8,弦振动的相关模拟10/10/20238,弦振动的相关模拟,11/14/2024,9,弦振动的相关模拟10/10/20239,弦振动的相关模拟,11/14/2024,10,弦振动的相关模拟10/10/202310,弦振动的相关模拟,11/14/2024,11,弦振动的相关模拟10/10/202311,波的传播的相关模拟,11/14/2024,12,波的传播的相关模拟10/10/202312,弦振动的相关模拟,11/14/2024,13,弦振动的相关模拟10/10/202313,简化假设：,(2)横向振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。,(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。,牛顿运动定律：,横向：,纵向：,其中：,其中：,11/14/2024,14,简化假设：(2)横向振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(,其中：,一维波动方程,令：,-非齐次方程,自由项,-齐次方程,忽略重力作用：,11/14/2024,15,其中：一维波动方程令：-非齐次方程自由项-,从麦克斯韦方程出发：,在自由空间：,例2、时变电磁场,11/14/2024,16,从麦克斯韦方程出发：在自由空间：例2、时变电磁场10/10/,对第一方程两边取旋度，,根据矢量运算：,由此得：,得：,即：,同理可得：,电场的,三维,波动方程,磁场的三维波动方程,11/14/2024,17,对第一方程两边取旋度，根据矢量运算：由此得：得：即：同理可,例3、热传导,所要研究的物理量：,温度,根据热学中的傅立叶试验定律,在d,t,时间内从d,S,流入,V,的热量为：,从时刻,t,1,到,t,2,通过,S,流入,V,的热量为,高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）,热传导现象,：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有,热量从高温处流向低温处。,热场,11/14/2024,18,例3、热传导所要研究的物理量：温度 根据热学中的傅立叶试验定,流入的热量导致,V,内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量为：,热传导方程,热场,如果物体内有热源，则温度满足,非齐次热传导方程,11/14/2024,19,流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量：温度发生变化,例4、静电场,电势,u,确定所要研究的物理量：,根据物理规律建立微分方程：,对方程进行化简：,拉普拉斯方程,泊松方程,11/14/2024,20,例4、静电场电势u 确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。,初始条件,：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。,边界条件：,能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。,二、定解条件的推导,其他条件：,能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。,11/14/2024,21,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,不含初始条件，只含边界条件条件,A、波动方程的初始条件,1、初始条件描述系统的初始状态,系统各点的初位移,系统各点的初速度,11/14/2024,22,初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉,(2)自由端：x=,a,端既不固定，又不受位移方向力的作用。,2、边界条件描述系统在边界上的状况,A、波动方程的边界条件,(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3)弹性支承端：在,x=a,端受到弹性系数为,k,的弹簧的支承。,或,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,11/14/2024,23,(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2,B、热传导方程的边界条件,(1)给定温度在边界上的值,(S为给定区域v 的边界),(2)绝热状态,(3)热交换状态,牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。,交换系数；周围介质的温度,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,C、拉普拉斯方程的边界条件,11/14/2024,24,B、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值(S为给,1、定解问题,三、定解问题的概念,(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；,(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；,(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。,把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个,定解问题,。,2、定解问题的适定性,解的存在性：定解问题是否有解；,解的唯一性：是否只有一解；,解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。,11/14/2024,25,1、定解问题三、定解问题的概念(1)初始问题：只有初始条件,(4),按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程,；,(5),按自由项是否为零分为,齐次方程,和,非齐次方程,3、微分方程一般分类,(1),按自变量的个数，分为二元和多元方程,；,(2),按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和,非线性微分方程,；,(3),按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶,和高阶微分方程,；,11/14/2024,26,(4)按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微,线性方程的解具有叠加特性,4、叠加原理,几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上),判断下列方程的类型,思考,11/14/2024,27,线性方程的解具有叠加特性 4、叠加原理 几种不同的,5、微分方程的解,古典解,：如果将某个函数,u,代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。,通解,：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。,特解,：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。,形式解,：未经过严格数学理论验证的解为形式解。,6、求解方法,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,11/14/2024,28,5、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程,四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类,两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式,(1.4.1),其中，,都是区域,上的实函数，,并假定它们是连续可微的。,若在区域,上某点,处满足,则称方程(1.4.1)在点,处是,双曲型,的；若在点,处满足,，则称方程(1.4.1)是,抛物型,的；,处满足,则称方程(1.4.1),是,椭圆型,的。,若在点,在点,11/14/2024,29,四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 两个自变量的二阶线,如果方程(1.4.1)在所讨论的区域,内每点都是,双曲型,（抛物型或椭圆型），则称方程在区域内也是双曲型（抛物型或椭圆型）。,11/14/2024,30,如果方程(1.4.1)在所讨论的区域内每点都是双曲型（抛物型,