2023-2024学年高一年级上学期阶段检测数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.2.回答第|卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.测试范围：第1-3章（人教A版必修第一册）.5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）ABCD2命题“”的否定是（）ABCD3如图是函数的图象，则下列说法正确的是（）A在和上单调递减B在区间上的最大值为3，最小值为-2C在上有最大值2，有最小值-1D当直线与函数图象有交点时4已知函数，则（）A2B1C0D-15下列结论正确的是（）A函数的最小值为2B若为实数，则恒成立C函数的值域为D函数的最小值为26已知是上的奇函数且，当时，则（）A-2B2C0D20237命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（）ABCD8若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（）ABC或D或二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列各组函数表示同一函数的是（）ABCD10已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（）A函数为偶函数B函数的定义域为C函数的值域为D在其定义域上单调递增11已知，则下列结果正确的有（）ABCD12狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（）A为偶函数B为偶函数C，使得D第II卷三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知集合，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上）14若幂函数在上单调递增，则实数 .15已知是奇函数，当时，则 .16已知正实数满足，则的最小值为 .四解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17已知集合.(1)求；(2)若，求的取值范围.18已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.(1)若，求出实数的值；(2)若，求实数的取值范围.19解关于的不等式：.20如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立）(1)求直角三角形面积的最大值；(2)求正方形面积的最小值.21二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围.22已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求时，函数的解析式；(2)若函数的最小值为2，求实数的取值.1B【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，所以.故选：B2C【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C3A【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确；B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错；C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错；D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错.故选：A.4A【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：A5D【分析】利用特殊值判断A、B，利用基本不等式判断D，根据二次函数的性质判断C.【详解】对于A：当时，当且仅当，即时取等号，故A错误；对于B：当，时，但是，故，故B错误；对于C：因为，则在上单调递增，又，且当时，所以，即函数的值域为，故C错误；对于D：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：D6B【分析】利用条件求出函数的周期，结合奇函数求出，从而得到答案.【详解】,则，则函数的周期，则，又函数为奇函数，所以，所以.故选：B.7C【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解.【详解】由使得不等式成立是真命题，即不等式在有解，因为，当时，所以，即实数的取值范围为.故选：C.8D【分析】对不等式因式分解，分，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案.【详解】，当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为，故，解得，当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为，故，解得，当时，不等式解集为，不合要求，故实数的取值集合为或.故选：D9AC【分析】利用函数的定义判断.【详解】A. ，定义域都为R，故表示同一函数；B. ，故不是同一函数；C. ，解析式相同，定义域都为R，故表示同一函数；D. ，的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数，故选：AC10BCD【分析】本题考查已知函数类型求解析式以及幂函数的性质，先设出幂函数解析式，代入已知点的坐标，求出解析式，再根据解析式逐项判断.【详解】设，由的图象经过点，得，解得，所以.选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误；选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确；选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确；选项D，由在上是增函数，D正确.故选：BCD.11AB【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确；对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，所以，所以C错误；对于D中，由，可得，所以D错误.故选：AB.12AB【分析】根据题意，结合狄利克雷函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称，若为有理数，则也为有理数，则有；若为无理数，则也为无理数，则有，所以为定义域上的偶函数，所以A正确；对于B中，当为有理数时， ，则；若为无理数时，则，所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确；对于C中，由B知，对，均有，所以C错误；对于D中，当时，此时，则，所以D错误.故选：AB.13必要不充分条件【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以，则由推不出，故充分性不成立，由推得出，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件14【分析】根据幂函数的定义和单调性求得.【详解】是幂函数，所以，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意.当时，在上单调递增，符合题意.所以的值为.故答案为：15【分析】根据奇函数的性质，则可求得答案.【详解】因为是奇函数，所以，当时，所以.故答案为：16#【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】正实数满足，故，所以，则，又，解得，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：17(1)，(2)【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解；（2）根据求解.【详解】（1）解：因为，所以，由或，则；（2）因为，且，所以，所以的取值范围是.18(1)(2)【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出；（2），故，结合方程的两根得到不等式，求出.【详解】（1）因为，故，又的两根分别为，故，故；（2）因为，故，又的两根分别为，故，解得，故实数的取值范围是.19答案见解析【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【详解】不等式，即，当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为；当时，解得或，即不等式的解集为或；当时，解得或，即不等式的解集为或；综上可得：当时不等式的解集为，当时不等式的解集为或，当时不等式的解集为或.20(1)(2)【分析】（1）由，得到求解； （2）由，得到求解.【详解】（1）解：由题意得：，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以直角三角形面积的最大值为；（2）因为，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以正方形面积的最小值为.21(1)(2)【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案；（2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，求出，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）由题意设，由得；由得，即恒成立，故，则，故；（2）因为当时，的图象恒在图象的上方，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，令，则在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.22(1)(2)【分析】（1）设，得到，再利用函数是定义在上的奇函数求解；（2）易得，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：设，则，因为当时，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以；（2）函数，其对称轴方程为，当时，解得，成立；当时，解得，不成立；当时，解得，不成立；故a的值为.