广东省广州市20242025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1已知集合，则下列结论不正确的是（）ABCD2某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（）A53B74C78D833已知，则“”是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知命题，为假命题，则实数的取值范围为（）ABCD5已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）ABCD6如图，已知在平行六面体中，且，则（）ABCD7已知为上的奇函数，且，当时，则的值为（）A4BCD8已知向量，是空间中的一个单位正交基底规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，若向量，则（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9已知复数，则（）A的虚部为BCD为纯虚数10已知函数当时，取得最大值2，且与直线最近的一个零点为，则下列结论中正确的是（）A的最小正周期为B的单调递增区间为C的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D若为奇函数，则11如图 ， 已知正方体的棱长为，为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（）A三棱锥的体积为定值B存在点，使得C若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段D若点是的中点，点是 的中点， 过作平面平面，则平面截正方体的截面周长为三、填空题（本大题共3小题）12已知向量满足，且，则 13小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为 14国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆绿色场馆并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水雨水过滤系统若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时四、解答题（本大题共5小题）15某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了地震知识及避震自救知识竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为(1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表）(2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率16已知函数.(1)若，求的值；(2)若，且，求的值.17已知的内角的对边分别为，向，(1)求；(2)若，求的面积的最大值18如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,且,为的中点(1)求证:平面;(2)求与平面所成角的正弦值;(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由19利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.参考答案1【答案】C【详解】由，解得，由，解得，则，对于A，A正确；对于B，B正确；对于CD，C错误，D正确.故选：C2【答案】C【分析】根据题意，将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解.【详解】将8位同学考试的物理成绩从小到大排列：，由，所以数据的第60百分位数为.故选C.3【答案】A【分析】运用充分，必要条件知识，结合幂函数单调性可解.【详解】,则，且在单调递增.故.反过来，如果，则,可以为负数.推不出.故“”是的充分不必要条件.故选A4【答案】B【分析】根据题意，转化为不等式在x1,+上恒成立，进而转化为不等式在x1,+上恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】由命题，为假命题，可得命题，为真命题，即不等式在x1,+上恒成立，即在x1,+上恒成立，令，则，可得，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围为.故选B.5【答案】B【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求出，再由夹角公式求解.【详解】因为，在上的投影向量为，所以，所以，所以，由，可知.故选B.6【答案】A【详解】由题意可知，因为，所以，所以故选：A7【答案】C【详解】为奇函数，则，又因为，所以，即，所以所以的周期为4，因为为奇函数，所以.故选：C.8【答案】C【详解】解：由题意得：，故选：C9【答案】CD【分析】先将化简成，再分别比对解出答案即可.【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故选项A错误；对于B，因为，故选项B错误；对于C，故选项C正确；对于D，为纯虚数，故选项D正确.故选CD.10【答案】AC【分析】先化简，当时取得最大值2，求出.与直线最近的一个零点为，求出，继而求出.则可求.然后算出最小正周期，单调增区间，对称中心，结合图象变换，逐项验证即可.【详解】根据题意，化简，当时取得最大值2，则.与直线最近的一个零点为，则，则，则.则.当时取得最大值，则，则 ，则，则的最小正周期为，A正确；令则则的单调递增区间为故B错误;的图象向右平移个单位长度得到,故C正确；，由于为奇函数，则令，则.故D错误.故选AC.11【答案】ACD【详解】对于A，为正方形底面内一点时，由，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，故A正确；对于B，以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，若，则，所以即，此时点不在底面内，与题意矛盾，故B错误；对于C，因为，若，所以即，所以的轨迹就是线段，故C正确；对于D，因为，又平面，平面，所以平面，因为面平面，异面，平面，所以平面，以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，如图所示，易知每个侧面的交线均相等，长度为正方体的面对角线的一半，由于正方体的棱长为，故面对角线长为，所以截面周长为，故D正确故选：ACD.12【答案】.【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量满足，因为，可得，解得，即，所以.故答案为：.13【答案】/0.56【分析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况.运用独立事件概率乘法公式分别求出概率，再相加即可.【详解】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会.则小耿与小吴恰有1人会答的概率为.故答案为：.14【答案】4【详解】根据题意有，可得，即设污染物消除至最初的还需要过滤x小时，则，即则，即，则，解之得故答案为：415【答案】(1)(2)【分析】（1）运用频率之和为1，求出m,再用平均值计算公式算出平均值即可；（2）先按照分层抽样确定和内的学生人数，再结合列举法，用古典概型求解概率即可.【详解】（1）频率之和为1,则，解得.则,则平均分成绩为.（2）根据分层抽样，知道和内的学生比为.则抽取的5人中有2个来自层，设为3个来自层，设为.再从这5人中随机抽取2人,总共有10种可能，分别为:. 这2人成绩都在内的有,共3种.故所求概率为.16【答案】(1)5(2)【详解】（1）由已知，即，因为，即，解得；（2）依题意，由，得，解得，.，又，.17【答案】(1)(2)【分析】（1）运用向量的数量积公式，再用正弦定理边角互化，最后用余弦定理计算即可；（2）用第一问的结论，结合基本不等式可解.【详解】（1）即，由正弦定理角化边得，即，则,由于,则.（2），则，即，由不等式知道，（当且仅当取最值），即.由三角形面积公式知道，（当且仅当取最值）.故的面积的最大值为.18【答案】(1)证明见解析(2);(3)存在,且点为线段的中点【详解】（1）因为四边形为正方形,则,因为 , ,且两直线在平面内，平面,平面,因为,且两直线在平面内平面,平面,且两直线在平面内平面.（2）因为平面,不妨以点为坐标原点, 、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、,设平面的法向量为,则,由,取,可得,所以,与平面所成角的正弦值为;（3）设点,设平面的法向量为,由,取,则,所以,点到平面的距离为,因此,当点为线段的中点时,点到平面的距离为19【答案】(1)函数在上是，函数在上不是；(2)1；(3).【分析】（1）根据定义，令k=1，作差，与0比较大小即可；（2）根据定义，转化为恒成立即可；（3）先求出的范围，再根据二次函数的性质可求的取值范围.【详解】（1）由题知，函数，定义域为，所以，所以函数在上是“1-利普希兹条件函数”，函数，所以，当时，则，函数在上不是“1-利普希兹条件函数”.（2）若函数是“利普希兹条件函数”则对于定义域1,2上任意两个，均有成立，则恒成立因为，所以，得，所以的最小值为1.（3）因为函数是“2024-利普希兹条件函数”，所以在上恒成立，即在上恒成立，由，得，原方程在上有两个不相等实根等价于,在上有两个不相等实根，令，因为，所以，则式等价于关于的方程在上有两个不相等实根，即，令,所以问题等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图，则，所以，又因为，所以使得以上不等式成立，所以.