2024-2025学年高二上学期期中模拟测试卷【人教A版2019】范围：第一章第三章（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1圆x2+y24x=0的圆心坐标和半径分别为（）A0,2，2B2,0，4C2,0，2D2,0，4【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此得到结果.【详解】圆的方程可化为：x22+y2=4，圆心坐标为2,0，半径r=2.故选：C.2顶点在原点，准线方程为x=34的抛物线的标准方程为（）Ay2=32xBy2=32xCy2=3xDy2=3x【答案】D【分析】求出p的值，可得出抛物线的标准方程.【详解】由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2=2pxp0，则p2=34，所以p=32，所以抛物线的标准方程为y2=3x故选：D3双曲线x2a2y24=1(a0)的离心率为3，则a=（）A1B2C3D6【答案】B【分析】根据双曲线的基本量关系求解即可.【详解】由题意，a2+4a=3，即a2+4=3a2，解得a=2.故选：B4如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，则MN=（）A12a23b+12cB23a+12b+12cC12a+12b12cD23a+b12c【答案】B【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得【详解】因为OM=2MA，点N为BC中点，所以MA=13OA，BN=12BC，故MN=MA+AB+BN=13OA+OBOA+12BC=13a+ba+12OCOB=23a+b+12cb =23a+12b+12c故选：B5若两异面直线l1与l2的方向向量分别是n1=1,0,1，n2=0,1,1，则直线l1与l2的夹角为（）A30B60C120D150【答案】B【解析】设异面直线l1与l2所成的角为，根据cos=cosn1,n2，即可求解.【详解】由题意，两异面直线l1与l2的方向向量分别是n1=1,0,1，n2=0,1,1，可得n1=2，n2=2，n1n2=1，设异面直线l1与l2所成的角为，则cos=cosn1,n2=n1n2n1n2=12，又因为(0,90)，所以=60，即直线l1与l2的夹角为60.故选：B.6已知直线l1:ax+2y+4=0，直线l2:x+a+1y+4=0，若l1/l2，则l1与l2的距离为（）A2B22C32D42【答案】C【分析】先由直线平行求得a的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解.【详解】因为l1:ax+2y+4=0，l2:x+a+1y+4=0，且l1/l2，所以a0，且1a=a+1244，解得a=2，则l1:2x+2y+4=0，即xy2=0，l2:xy+4=0，所以l1与l2的距离为241+1=32.故选：C.7若直线kxy2=0与曲线1y12=x1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A43,2B43,4C2,4343,2D43,+【答案】A【分析】根据题意，化简曲线为x12+(y1)2=1(x1)，再由直线恒过定点P(0,2)，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.【详解】由曲线1(y1)2=x1，可得x12+(y1)2=1(x1)，又由直线kxy2=0，可化为y=kx2，直线恒过定点P(0,2)，作出半圆与直线的图象，如图所示，结合图象，可得A(1,0)，所以kPA=0210=2，当直线与半圆相切时，可得k3k2+1=1，解得k=43，所以实数k的取值范围为(43,2.故选：A.8瑞士数学家欧拉在三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心重心垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知ABC的顶点A1,0,B1,0,C1,1，若直线l:ax+a3y+1=0与ABC的欧拉线垂直，则直线l与ABC的欧拉线的交点坐标为（）A15,35B15,35C15,35D15,35【答案】B【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线l方程，后可得交点坐标.【详解】由ABC的顶点坐标，可知其重心为1+1+13，13=13，13.注意到kAB=0，直线BC斜率不存在，则ABC为直角三角形，则其垂心为其直角顶点B1,0，则ABC欧拉线方程为：y13013=x13113y=12x+12.因其与l:ax+a3y+1=0y=aa3x1a3垂直，则aa3=2a=2.则l:y=2x+1，则直线l与ABC的欧拉线的交点坐标满足y=12x+12y=2x+1x=15y=35，即交点为15,35.故选：B二 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9下面四个结论正确的是（ ）A若三个非零空间向量a,b,c满足ab,bc，则有a/cB若空间四个点P,A,B,C，PC=14PA+34PB，则A,B,C三点共线C已知a,b,c是空间的一组基底，若m=a+c，则a,b,m也是空间的一组基底D已知向量a=1,1,x，b=3,x,9，若x310，则a,b为钝角【答案】BC【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若非零空间向量a,b,c满足ab,bc，不一定满足a/c，所以A不正确；对于B中，因为PC=14PA+34PB，则14PC14PA=34PB34PC，即AC=3CB，又因为AC与CB有公共点，所以A,B,C三点共线，所以B正确；对于C中，由a,b,c是空间的一组基底，且m=a+c，令m=xa+yb，可得xa+yb=a+c，此时方程组无解，所以a,b,a+c不共面，所以a,b,m可以作为一个空间基底，所以C正确；对于D中，若a,b为钝角，则ab0，且a与b不共线，由ab=3+x+9x0，解得x310，当时a与b平行时，由13=1x=x9，解得x=3，当a与b不共线得x3，所以当x0时，l2的倾斜角的范围是0,34)B若l1/l2，则a=3C若l1l2，则a=12D当a=3时，l1到l2的距离为102【答案】BCD【分析】求出直线l2的斜率范围判断A；由两直线平行求出a判断B；由两直线垂直求出a判断C；由平行线间距离公式计算判断D.【详解】对于A，当a0时，直线l2的斜率k=2aa=2a11，当1k0，c2=a2+b2=m+4，所以，a=2，b=m，c=m+4，e=ca=m+42，因为e6,3，所以有6m+423，即26m+46，整理可得，24m+436，解得20m0，所以PB=1,0,1,CD=1,1t,0，所以cos=PBCDPBCD=121+1t2，因为直线PB与CD所成角的大小为3，所以cos=12，即121+1t2=12，解得t=0（舍）或者t=2，所以BC的长为2；（2）由（1）知P0,0,1,B1,0,0,D0,1,0,C1,2,0，令平面PBD的法向量为m=x,y,z，因为PB=1,0,1,PD=0,1,1，所以mPB=0mPD=0xz=0yz=0，令x=1，则y=1,z=1，所以m=1,1,1，又CB=0,2,0，所以d=mCBm=23=233，所以点C到平面PBD的距离为233.18（17分）若圆M的方程为(x1)2+(y4)2=4，ABC中，已知A(7,2),B(4,6) ,点C为圆M上的动点（1）求AC中点D的轨迹方程； （2）求ABC面积的最小值【答案】（1）(x4)2+(y3)2=1；（2）4【解析】（1）设D(x,y),C(x0,y0)，根据中点坐标公式得出x0=2x7y0=2y2，由相关点法即可求出点D的轨迹方程； （2）利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）设D(x,y),C(x0,y0)有x=x0+72y=y0+22x0=2x7y0=2y2，由(x01)2+(y04)2=4得(2x71)2+(2y24)2=4，即D点的轨迹方程为(x4)2+(y3)2=1.（2）计算得AB=5, 直线AB为4x+3y34=0,点(1,4)到直线AB的距离d=4+12345=185,点C到直线AB的最小距离为1852=85 (SABC)min=12585=4.【点睛】本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.19（17分）如图，已知F110,0，F210,0分别是双曲线E：x2a2y2b2=1a0,b0的左、右焦点，P2103,63是E上一点(1)求E的方程(2)过直线l：x=1上任意一点T作直线l1，l1与E的左、右两支相交于A，B两点，直线l1关于直线l对称的直线为l2（与l1不重合），l2与E的左、右两支相交于C，D两点证明：ABD=ACD【答案】(1)x24y26=1(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点以及点P2103,63在双曲线上，列方程即可求解，（2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，进而根据弦长公式求解AT=1+k2x11，BT=1+k2x21，CT=1+k2x31，DT=1+k2x41，即可得三角形相似，进而可求证.【详解】（1）由题可知a2+b2=10409a269b2=1，解得a2=4，b2=6，则E的方程为x24y26=1（2）证明：设T1,m，显然直线l1的斜率存在且不等于0，设l1的方程为ym=kx1，则直线l2的方程ym=kx1，设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，Dx4,y4联立方程组ym=kx1x24y26=1，整理得32k2x2+4k24kmx2k2+4km2m212=0=4k24km2128k22k2+4km2m212=72k248km+24m2+1440，则x1+x2=4k24km2k23，x1x2=2k24km+2m2+122k23同理可得x3+x4=4k2+4km2k23，x3x4=2k2+4km+2m2+122k23，AT=1+k2x11，BT=1+k2x21，CT=1+k2x31，DT=1+k2x41，则ATBT=1+k2x11x21=1+k2x1x2x1+x2+1=1+k22k24km+2m2+122k234k24km2k23+1=1+k22m2+92k23，同理可得CTDT=1+k22m2+92k23，则ATDT=CTBT，则ACTDBT，则ACT=DBT，即ABD=ACD【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题