1第三章第三章 時域與頻域響應時域與頻域響應 n本章重點：本章重點： 本章的內容為下一章的基礎將對數位信號在時域與頻域的一些運作方式與特性作一番剖析與驗證。 DSP的數學基礎例如Z轉換、反Z轉換、離散傅立葉轉換以及其特性。 以上兩部份是DSP的重要骨幹希望讀者能夠深入練習與體會。 2系統的時域響應n探討系統在時間軸上的變化，稱為時域探討系統在時間軸上的變化，稱為時域響應響應。n在時域中表示一個系統的方法最普遍在時域中表示一個系統的方法最普遍的方式為動態方程式。以下各小節說明的方式為動態方程式。以下各小節說明之。之。33.1.1 動態方程式響應n系統在時域上的響應行為，可以用數學方程式系統在時域上的響應行為，可以用數學方程式來描述，稱為系統的動態方程式來描述，稱為系統的動態方程式。n系統的動態方程式表現出在時間變化軸上的系統的動態方程式表現出在時間變化軸上的系統輸入與輸出的關聯行為在數位信號的表系統輸入與輸出的關聯行為在數位信號的表示法稱為差分方程式示法稱為差分方程式(Difference equation)。其。其形式為：形式為： (3.1-1)n應用應用MATLAB的指令為的指令為filter。n範例3.1-1。模擬結果：如圖。模擬結果：如圖3.1-1與圖與圖3.1-2。NkMmmkmnxbknya00)()(4圖圖3.1-1 步階響應圖步階響應圖-2002040608010012000.20.40.60.81time sequence (n)input signal xStep input signal-20020406080100120-0.500.51time sequence (n)output signal y(n)Step response5圖圖3.1-2 脈衝響應圖脈衝響應圖-2002040608010012000.20.40.60.81time sequenceinput signal xImpulse input signal-20020406080100120-2-1012time sequence (n)output signal y(n)Impulse response63.1.2 零態(Zero state)與零輸入(Zero-input)響應n若不考慮輸入的影響，只考慮初始狀態若不考慮輸入的影響，只考慮初始狀態值值(Initial state condition)的響應，稱為的響應，稱為零輸入響應(Zero input response)。n若只考慮輸入的影響，不考慮初始狀態若只考慮輸入的影響，不考慮初始狀態值的影響（即初始狀態值為值的影響（即初始狀態值為0），稱為），稱為零態響應(Zero state response)。n範例3.12。模擬結果：如圖模擬結果：如圖3.1-3至圖至圖3.1-5。7圖圖3.1-3 輸入信號圖輸入信號圖-50510152000.10.20.30.40.50.60.70.80.91time sequence (n)input signal xInput signal8圖圖3.1-4 零態響應與零輸入響應零態響應與零輸入響應圖圖-505101520-1-0.500.51time sequence (n)output signal y(n)Zero state response-505101520-2-1012time sequence (n)output signal y(n)Zero input response9圖圖3.1-5 零態響應加零輸入響應零態響應加零輸入響應與總響應圖與總響應圖-505101520-2-1012time sequence (n)output signal y(n)zero state+zero input response-505101520-2-1012time sequence (n)output signal y(n)full response103.1.3 線性摺積(Linear Convolution) 對一個線性非時變對一個線性非時變(LTI)的系統輸出的信號的系統輸出的信號y(n)可可以經由輸入信號以經由輸入信號x(n)與系統的脈衝響應與系統的脈衝響應T(n)的線性的線性摺積而求得。線性摺積的定義如下：摺積而求得。線性摺積的定義如下： (3.1-2) 3.1-2式也可表為式也可表為 (3.1-3) 以上的數學式以上的數學式3.1-2如圖如圖3.1-6。數學式。數學式3.1-3，如，如圖圖3.1-7。 這兩個圖形可執行範例這兩個圖形可執行範例3.1-2-1程式獲得。程式獲得。 MATLAB所用的指令為所用的指令為conv 範例3.1-2-1;模擬結果：如圖模擬結果：如圖3.1-6與圖與圖3.1-7。0)()()(kknTkxny0)()()(knTknxny11圖圖3.1-6 脈衝響應對摺圖脈衝響應對摺圖-20-15-10-50510152000.20.40.60.81time sequence (n)input signal xInput signal-20-15-10-505101520-2-1012time sequence (n)impulse response T(n)Folding impulse response12圖圖3.1-7 輸入信號對摺圖輸入信號對摺圖-20-15-10-50510152000.20.40.60.81time sequence (n)input signal xFolding input signal-20-15-10-505101520-2-1012time sequence (n)impulse response T(n)Impulse response133.1.4 環形摺積(Circular Convolution)n環形摺積就是把線性摺積的頭尾相連環形摺積就是把線性摺積的頭尾相連變成環狀一個在內環另一個在外環變成環狀一個在內環另一個在外環然後每乘加一次就內環不動外環然後每乘加一次就內環不動外環順時鐘方向轉一次再進行乘加如此順時鐘方向轉一次再進行乘加如此一直進行到尾端為止。其觀念如圖一直進行到尾端為止。其觀念如圖3.1-10所示。所示。 14圖圖3.1-10 環形摺積示意圖環形摺積示意圖15環形平移 在程式的演算法中是以平移在程式的演算法中是以平移(Shift)來表現出來表現出來如圖來如圖3.1-11所示。所示。 一個環形摺積運算考量的有二個一個是一個環形摺積運算考量的有二個一個是它總共有幾點（以它總共有幾點（以N表示）另一個就是轉表示）另一個就是轉動幾點動幾點(以以m表示表示)。16圖圖3.1-11 環形平移的序列示意環形平移的序列示意圖圖123451 2 3 4 5123455 12 3 4 17圖圖3.1-12 對摺後再擺成環形的對摺後再擺成環形的序列圖序列圖123455 4 3 2 1123451 5 4 3 21 2 3 4 518以環形摺積求系統響應n把輸入序列當內環，系統脈衝響應當外把輸入序列當內環，系統脈衝響應當外環，補零後進行環形摺積，結果便是系環，補零後進行環形摺積，結果便是系統響應。請參考統響應。請參考範例3.1-6。n範例3.1-4模擬結果：如圖3.1-13及圖3.1-14。n範例3.1-5模擬結果如圖3.1-15。範例3.1-6模擬結果：如圖3.1-16與圖3.1-17。19圖圖3.1-13原信號及對摺後的信原信號及對摺後的信號圖號圖20圖圖3.1-14取前取前10點作點作3點的環形點的環形平移圖平移圖21圖圖3.1-15 補零補零(5點點)的環形平移的環形平移22圖圖3.1-16 輸入信號與脈衝響應輸入信號與脈衝響應序列序列23圖圖3.1-17 線性摺積與環形摺積線性摺積與環形摺積圖圖243.1.5 區塊摺積(Block Convolution) 處 理 的 方 式 有 二 種 一 為 重 疊 儲 存 法處 理 的 方 式 有 二 種 一 為 重 疊 儲 存 法(Overlap-save)另一為重疊相加法另一為重疊相加法(Overlap-add)。 重疊儲存法(Overlap-save) (參考範例3.1-7至範例3.1-9) 重疊儲存法的步驟說明如圖重疊儲存法的步驟說明如圖3.1-18所示。所示。 重疊相加法(Overlap-add) (參考範例3.1-10至範例3.1-12) 重疊相加法的步驟說明如圖重疊相加法的步驟說明如圖3.1-19所示。所示。25圖圖3.1-18 重疊儲存法示意圖重疊儲存法示意圖重疊個數為m-1區塊個數為K輸入序列x(n) ，每個block長度為m，總數有n個元素0026圖圖3.1-19 重疊相加示意圖重疊相加示意圖補m-1個00,0,00,0,00,0,0輸入序列 x(n) ，每個block長度為m，總共有n個元素區塊個數為 K273 . 2 系 統 的 頻 域 響 應3.2.1 Z轉換(Z-transform)n在在z轉換中為了避免無窮級數發散的轉換中為了避免無窮級數發散的z範範圍限制條件稱為收斂區域圍限制條件稱為收斂區域(Region of convergence簡稱簡稱ROC其示意圖如圖其示意圖如圖3.2-128圖圖3.2-1 步階函數步階函數z轉換的轉換的ROC示意圖示意圖Re(z)Im(z)1ROC29z轉換的特性：n取樣平移特性取樣平移特性(sample shifting)：參考範例3.2-1。nz定義域微分特性：定義域微分特性：參考範例3.2-1。模擬結果：如圖模擬結果：如圖3.2-2n頻率平移特性頻率平移特性(Frequency shifting):參考範例3.2-2。n對摺特性對摺特性(Folding): 參考範例3.2-3與範例3.2-4。模擬結模擬結果：如圖果：如圖3.2-3與圖與圖3.2-4。n線性特性：線性特性： 參考範例3.2-5。模擬結果：如圖模擬結果：如圖3.2-5。n摺積摺積(Convolution)特性：系統在頻域上特性：系統在頻域上Z轉換的脈衝響轉換的脈衝響應應=系統在時域上的零態響應系統在時域上的零態響應30圖圖3.2-2 Z轉換與響應序列結果圖轉換與響應序列結果圖31圖圖3.2-3 步階函數的步階函數的Z轉換對摺特性驗轉換對摺特性驗證圖證圖32圖圖3.2-4 對摺後的對摺後的Z轉換與響應序列結轉換與響應序列結果圖果圖33圖圖3.2-5 Z轉換的線性特性圖轉換的線性特性圖343.2.2 反Z轉換(Inversion Z-transform)n部份分式法n長除法：35圖圖3.2-6 反反Z轉換結果圖轉換結果圖36圖圖3.2-7 zero-pole圖圖37圖圖3.2-8 響應序列圖響應序列圖38圖圖3.2-9 極零點圖極零點圖393.2.3 旋轉因子(Twiddle factor) 旋轉因子（旋轉因子（Twiddle factor）的作用是要把無）的作用是要把無窮的傅立葉級數改成在有限的頻域空間中窮的傅立葉級數改成在有限的頻域空間中進行進行40圖圖3.2-10 旋轉因子示意圖旋轉因子示意圖08W78W68W58W48W38W28W18W78W38W413.2.4 離散傅立葉轉換(DFT) 根據前一節的旋轉因子的介紹與第二章的傅立根據前一節的旋轉因子的介紹與第二章的傅立葉轉換的觀念本節將藉此推導到數位的傅立葉葉轉換的觀念本節將藉此推導到數位的傅立葉轉換稱為離散傅立葉轉換轉換稱為離散傅立葉轉換(Discrete Fourier Transform)簡稱簡稱DFT42圖圖3.2-11 18點的點的DFT運算結果圖運算結果圖43圖圖3.2-12 26點的點的DFT運算結果圖運算結果圖44圖圖3.2-13 32點且輸入信號補點且輸入信號補6個個0的的DFT運算結果圖運算結果圖453.2.5 反離散傅立葉轉換(Inverse-DFT)n範例3.2-1246圖圖3.2-14 26點的點的DFT運算結果圖運算結果圖47圖圖3.2-15 26點的點的Inverse-DFT運算運算結果圖結果圖48圖圖3.2-16 32點的點的DFT運算結果圖運算結果圖49圖圖3.2-17 32點的點的Inverse-DFT運算運算結果圖結果圖503.2.6 DFT的重要特性 週期性(Periodicity) 對摺性(Folding) 對稱性(Symmetry) 線性(Linearity) 位移性(Shifting) 摺積性(Convolution) 相乘性(Multiplication)51圖圖3.2-18 DFT的週期性大小圖的週期性大小圖52圖圖3.2-19 DFT的週期性相位圖的週期性相位圖53圖圖3.2-20 DFT的對摺性大小圖的對摺性大小圖54圖圖3.2-21 DFT的對摺性相位圖的對摺性相位圖55圖圖3.2-20a DFT的對摺性大小圖的對摺性大小圖56圖圖3.2-21a DFT的對摺性相位圖的對摺性相位圖57圖圖3.2-22 DFT的對稱性大小圖的對稱性大小圖58圖圖3.2-23 DFT的對稱性相位圖的對稱性相位圖59圖圖3.2-24 DFT的對稱性實部圖的對稱性實部圖60圖圖3.2-25 DFT的對稱性虛部圖的對稱性虛部圖61圖圖3.2-26 DFT的線性特性大小圖的線性特性大小圖62圖圖3.2-27 DFT的線性特性相位圖的線性特性相位圖63圖圖3.2-28 DFT的平移性大小圖（平的平移性大小圖（平移移6點）點）64圖圖3.2-29 DFT的平移性相位圖（平的平移性相位圖（平移移6點）點）65圖圖3.2-30 DFT的摺積性大小圖的摺積性大小圖66圖圖3.2-31 DFT的摺積性相位圖的摺積性相位圖67圖圖3.2-32 DFT的相乘性大小圖的相乘性大小圖68圖圖3.2-33 DFT的相乘性相位圖的相乘性相位圖