单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,第,9,章,中心对称图形平行四边形,9.5三角形的中位线,学习目标,1.,理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线定理,;,2.,会利用三角形中位线定理解决有关问题,；,3.,在探索三角形中位线定理的过程中体会转化思想,.,问题情境,将一张三角形纸片剪一刀，要求剪得的两部分纸片能拼成一个平行四边形，剪切线的位置应满足什么条件,?,B,A,C,D,E,在将两部分纸片拼成平行四边形时，对其中的一部分进行了怎样的图形运动?,B,A,C,D,E,F,问题情境,操作与思考,B,A,C,D,E,F,思考：,1.,点,E,在线段,DF,上吗？四边形,BC,F,D,是哪种特殊四边形？为什么？,操作与思考,思考：,2.,DE,与,BC,有怎样的位置关系和数量关系？,猜想：,DEBC,，,DE,=,BC,.,B,A,C,D,E,F,操作与思考,B,A,C,D,E,F,证明：,延长,D,E,到点,F,，使,EF=,D,E,，,连接,CF,.,点,E,是,AC,的,中点,.,AE,=CE,.,在,ADE,和,CFE,中，,，,ADE,CFE,，,AD,=,CF,，,ADE,=,F.,CF,/,BD.,D,是,AB,的,中点，,又,AD,=,BD,.,BD,=,CF,，,CF,/,BD,，,四边形,DBCF,是平行四边形,.,DF/BC,，,DE,=,DF,=,BC,.,思考：,2.,DE,与,BC,有怎样的位置关系和数量关系？,猜想：,DEBC,，,DE,=,BC,.,概念学习,连接三角形两边中点的线段,叫做,三角形的中位线,.,B,A,C,D,E,三角形共有几条中位线呢？,中位线和中线有何不同？,三角形中位线：,中点,中点,；,三角形的中线：,中点,顶点,.,中位线,DE,中线,DC,F,新知归纳,三角形的中位线,平行于第三边,，并且,等于第三边的一半,.,B,A,C,D,E,DE,是,ABC,的中位线，,DEBC,，,DE,=,BC,.,符号语言：,如图：在,ABC,中，点,D,、,E,、,F,分别是三边的中点,.,(1),若,ADE,=60,，则,B,=,；,(2),若,BC,=8cm,，则,DE,=,cm,；,(3),若,DF,=3cm,，则,AC,=,cm,；,(4),四个小三角形全等吗？,(5),DEF,与,ABC,的周长和面积分别有怎样的数量关系？,新知巩固,C,A,B,D,E,F,60,4,6,例题讲解,例,已知：,如图，在四边形,ABCD,中，,A,C=,B,D,，,E、F、G、H,分别是,AB、BC、CD、DA,中点求证：四边形,EFGH,是菱形,B,A,C,D,E,F,G,H,证明：,在,B,AC,中,，,BE,=,E,A,，,BF,=,FC,，,EF,=,AC,，,同理,FG,=,BD,，,GH,=,AC,，,HE,=,BD.,A,C=,B,D,，,EF,=,FG,=,GH,=,HE,，,四边形,EFGH,是菱形,.,例题讲解,变式,1,如图，在,四边形,ABCD,中,，,A,C,B,D,，,那么依次连接它的各边中点能得到什么图形？,B,A,C,D,E,F,G,H,证明：,在,B,AC,中,，,BE,=,E,A,，,BF,=,FC,，,EFAC,，,同理,GHAC,，,HEBD,，,GFBD,，,EFGH,，,HEGF,，,四边形,EFGH,是平行四边形,.,A,C,B,D,，,1=90,.,EFAC,，,GFBD,，,3=2=1=90,.,EFGH,是矩形,.,1,2,3,例题讲解,变式,2,如图，在矩形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是边,AB,、,BC,、,CD,、,AD,的中点，试说明四边形,EFGH,是菱形,.,B,A,C,D,E,F,G,H,解：,连接,AC,、,BD.,根据三角形中位线定理，可得,EF,=,HG,=,AC,，,EH,=,FG,=,BD,.,四边形,ABCD,是矩形，,AC,=,BD.,EF=FG=HG=HE,.,四边形,EFGH,是菱形,.,顺次连接四边形各边中点所得到的四边形,是怎样的图形,？为什么？,讨论与交流,中点四边形,是否是特殊的平行四边形,与什么有关,？,矩形,正方形,平行四边形,如果顺次连接菱形、正方形四边的中点呢？,讨论与交流,顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是,平行四边形,，,但它是否特殊的平行四边形,取决于,它的对角线是否垂直或者是否相等,.,原四边形两条对角线,连接四边中点所得四边形,互相垂直,矩形,相等,菱形,互相垂直且相等,正方形,既不互相垂直也不相等,平行四边形,1,.,已知：如图，在,ABC,中，,ACB,=,90，,D、E、F,分别是,AC、,AB、BC,的中点,.,求证：,CE,=,DF,.,B,A,C,D,E,F,解：,D,、F,分别是,AC、,B,C,的中点，,DF,=,A,B,.,ACB,=,90，,E,是,AB,的中点,CE,=,A,B,.,CE,=,DF,.,新知巩固,试说明,CE,与,DF,互相平分,.,新知巩固,2.,如图，在四边形,ABCD,中，,AB,=,DC,，,E、F、G、H,分别是,AD、BC、BD、AC,的中点四边形,EGFH,是怎样的四边形？证明你的结论.,A,B,C,D,E,F,H,G,证明：,在,A,B,C,中,，,H,、F,分别是,AC、BC,的中点,，,HF,=,AB.,同理,EG,=,AB,，,EH,=,CD,，,GF,=,CD.,A,B=,DC,，,EG,=,GF,=,EH,=,HF,，,四边形,EGFH,是菱形,.,课堂小结,9.5三角形的中位线,定义：,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,定理：,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半,应用：,中点四边形形状的判定,当堂检测,1.,如图，在,ABC,中，,AB,5,，,BC,6,，,AC,7,，,D,、,E,、,F,分别是,ABC,三边的中点，则,DEF,的周长为,(,),A,9 B,10 C,11 D,12,A,B,A,C,D,F,E,当堂检测,2.,如图，在,ABC,中，,D,、,E,、,F,分别是,AB,、,AC,、,BC,的中点，,ADE,45,，则,CFE,的度数为,(,)A.40B.45C.50D.55,B,B,A,C,D,F,E,当堂检测,3.,如图，已知四边形,ABCD,中，,R,、,P,分别是,BC,、,CD,上的点，,E,、,F,分别是,AP,、,RP,的中点，当点,P,在,CD,上从,C,向,D,移动而点,R,不动时，那么下列结论成立的是,(),A.,线段,EF,的长逐渐增大,B.,线段,EF,的长逐渐减少,C.,线段,EF,的长不变,D.,线段,EF,的长与点,P,的位置有关,B,A,C,D,E,R,P,F,C,当堂检测,4.,顺次连接矩形,ABCD,各边中点得到四边形,EFGH,，它的形状是,_.,菱形,5.,如图,，,在,Rt,ABC,中,，,ACB=,90,，,D,、,E,、,F,分别是,AC,、,BC,、,AB,边的中点,，,CF=,8 cm,，,则线段,DE=,cm,.,8,F,B,A,C,D,E,当堂检测,6.,已知,：如图，在,ABC,中,，,AB=,6cm,，,AC=,4cm,，,AD,平分,BAC,，且,AD,CD,，垂足为,D,，,E,为,BC,中点，则,DE,的长是,_.,F,1cm,B,A,C,D,E,当堂检测,7,.如图，,A、B,两地被建筑物阻隔，为测量,A、B,两地的距离，在地面上选一点,C,，连接,CA、CB,，分别取,CA、CB,的中点,D、E,.,(,1,),若,DE,的长为 36m，求,A、B,两地的距离；,(,2,),若,D、E,两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？,72m,分别取,CD,、,CE,的中点,F,、,G,.,测得,FG,的长，就可以求得,A,、,B,两地的距离,.,当堂检测,8.(2022,泰州,),如图，线段,DE,与,AF,分别为,ABC,的中位线与中线,.(1),求证：,AF,与,DE,互相平分；,F,B,C,A,E,D,证明：,DE,和,AF,分别是,ABC,的中位线和中线，,AD,AB,，,EF,是,ABC,的中位线，,EF,AB,，,EF,AB,，,EF,AD,，,四边形,ADFE,是平行四边形，,AF,与,DE,互相平分,当堂检测,(2),当线段,AF,与,BC,满足怎样的数量关系时，四边形,ADFE,为矩形？请说明理由,.,F,B,C,A,E,D,解：,当,AF,BC,时,，,四边形,ADFE,为矩形,，,理由：,线段,DE,为,ABC,的中位线,，,DE,BC,.,AF,BC,，,AF,DE,.,由,(1),得,，,四边形,ADFE,是平行四边形,，,四边形,ADFE,为矩形,1.,如图，在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,E,、,F,分别是对角线,BD,、,AC,的中点若,AD,6cm,，,BC,18cm,，求,EF,的长,A,B,C,D,E,F,G,解法一：,如图，取,AB,的中点,G,，连接,EG,.,E、F,分别是对角线,BD、AC,的中点，,EGAD,，,EG,=,AD,=126=3cm，,GFBC,，,GF,=,BC,=1218=9cm,.,又,ADBC,，,EG,BC,.,点,G、E、F,三点共线，,EF,=,GF,EG,=93=6cm.,思维提升,1.,如图，在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,E,、,F,分别是对角线,BD,、,AC,的中点若,AD,6cm,，,BC,18cm,，求,EF,的长,A,B,C,D,E,F,K,解法二：,连接,DF,并延长，交,BC,于点,K,，,ADBC,，,DAF,=,KCF,，,ADF,=,CKF,，,F,是,AC,的中点，,AF=CF,，,ADF,CKF,(AAS)，,DF=KF,，,CK=AD,，,EF,=,BK,=,(,BC,AD,)=,(186)=6(cm).,思维提升,2.,已知：如图，梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,E,、,F,分别是,AB,、,DC,的中点,求证：,EF,BC,，,EF,(,BC,AD,),A,B,C,D,E,F,O,证明：,连结,AF,并延长，交,BC,的延长线于点,O,.,F,是,DC,的中点，,DF=FC,.,ADBC,，,ADC,=,DCO,.,ADF,OCF,.,AD=CO,，,AF=FO,.,F,是,AO,的中点，,E,是,AB,的中点,，,EF,是,ABO,的中位线,.,EFBC,，,EF,=,BO,=,(,BC,+,CO,),AD=CO,，,EFBC,，,EF,=,(,BC,+,AD,),.,思维提升,