单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,9.4矩形、菱形、正方形,（,5,）,第5课时正方形的性质与判定,学习目标,1.,探索并证明,正方,形的判定,定理和性质,定理,;,2.,进一步体会有条理地推理的基本方法,.,问题情境,把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，这是为什么呢？,B,A,D,C,概念学习,有,一组邻边相等,并且,有,一个角是直角,的,平行四边形,叫做,正方形,(square).,B,A,D,C,符号语言：,AB,=,BC,，,ABC,=90,，,ABCD,是正方形,.,讨论与交流,正方形是矩形吗？是菱形吗？反之对不对？,怎样使一个矩形变为正方形？怎样使一个菱形变为正方形呢？,矩形,菱形,正,方,形,平行四边形,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：,新知归纳,新知归纳,有一组邻边相等,的,矩形,是,正方形,.,有一个角是直角,的,菱形,是,正方形,.,B,A,D,C,1,.,一个矩形的两条对角线互相垂直，证明这个矩形是正方形,.,A,B,C,D,O,已知：如图，矩形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,且,AC,BD,.,求证：矩形,ABCD,是正方形,.,证明：,四边形,ABCD,是矩形，,BO=DO.,又,AC,BD,，,AB=AD,.,矩形,ABCD,是正方形,.,讨论与交流,2,.,一个菱形的,两条,对角线相等，证明这个菱形是正方形,.,已知：如图，菱形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,且,AC,=,BD,.,求证：菱形,ABCD,是正方形,.,证明：,四边形,ABCD,是菱形，,AO,CO,AC,，,BO,DO,BD,，,AC,BD,，,AO,BO.,又,AC,BD,，,OAB=,O,BA=,45,.,同理：,OBC=,OCB=,45,，,ABC=,OBA+,OBC=,90,.,菱形,ABCD,是正方形,.,A,B,C,D,O,讨论与交流,新知归纳,B,D,平行四边形,A,C,有,一个角是直角,对角线相等,B,A,D,C,矩形,有,一组邻边相等对角线垂直,B,A,D,C,正方形,有,一组邻边相等对角线垂直,B,A,D,C,菱形,有,一个角是直角,对角线相等,有一组邻边相等并且有一个角是直角,A,B,C,D,四边形,有三个角是直角,A,B,C,D,四边形,四边相等,新知巩固,1.,下列命题正确的是,(),A.,四个角都相等的四边形是正方形,B.,四条边都相等的四边形是正方形,C.,对角线相等的平行四边形是正方形,D.,对角线互相垂直的矩形是正方形,D,新知巩固,2.,已知：,ABCD,的对角线,AC,、,BD,交于点,O,，从下列条件中取出哪些条件后，可使,ABCD,成为正方形,.,(1),AB,AD,；,(2),AC,BD,；,(3),BAD,90,；,(4),AC,BD,.,A,B,C,D,O,讨论与交流,正方形是特殊的平行四边形,，,也是特殊的矩形,，,也是特殊的菱形.,正方形具有矩形的性质同时又具有菱形的性质,.,正方形,的边、角和对角线各具有哪些性质呢？,新知,归纳,四个角都是直角,对边平行,，四条边相等,对角线相等且互相垂直平分,边,角,对角线,对称性,A,B,C,D,既是中心对称图形又是轴对称图形,新知,归纳,边,角,对角线,对边平行且相等,对边平行且相等,对边平行四边相等,对边平行四边相等,对角相等邻角互补,四个角都是直角,对角相等邻角互补,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线相等且互相平分,对角线互相垂直平分,对角线相等且互相垂直平分,新知巩固,根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打”,”,平行四边形,矩形,菱形,正方形,对边平行且相等,四边都相等,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线互相垂直,对角线相等,例题讲解,例,已知：如图，在正方形,ABCD,中，点,A,、,B,、,C,、,D,分别在,AB,、,BC,、,CD,、,DA,上，且,AA,BB,CC,DD,求证：四边形,ABCD,是正方形,A,B,C,D,A,B,C,D,1,2,3,证明：,四边形,ABCD,是正方形，,A,B,C,D,90,，,AB,BC,CD,DA,.,AA,BB,CC,DD,，,DA,A,B,B,C,C,D,，,A,A,D,B,BA,C,CB,D,DC,，,D,A,AB,BC,CD,，,四边形,ABCD,是菱形,由,A,AD,B,BA,，,可得,2,3,，,A,=90,，,1,2,90,，,1,3,90,，,D,A,B,90,，,菱形,ABCD,是正方形,新知巩固,1.,已知：如图，,E,是正方形,ABCD,对角线,BD,上的一点，且,BE,=,BC,，,EF,BD,，交,DC,于点,F,.,求证：,DE,=,CF,.,A,B,C,D,E,F,证明：,连接,BF,.,四边形,ABCD,是正方形，,C,90,，,BC,D,C,，,BDC,45.,在,DEF,中，,EF,BD,，,BDC,45,，,EFD,45.,EF,DE,.,易证,BEF,BCF,，,EF,CF,.,DE,CF,.,2,.已知：如图，在正方形,ABCD,中，点,E、F,在,BD,上，且,BF,=,DE,.,求证：四边形,AECF,是菱形.,新知巩固,A,B,C,D,E,F,证明：,连接,AC,，,AC,交,BD,于点,O,.,四边形,ABCD,是正方形，,AC,BD,，,OA,O,C,，,OB,OD,，,BF,DE,，,OF,OE,，,四边形,AECF,是平行四边形.,又,AC,BD,，,AECF,是菱形,.,O,新知巩固,3.,ABC,中，点,D、,E,、,F,分别在,BC、,AB,、,AC,上，且,DE,AC,，,DF,AB,根据下列条件，分别判断四边形,AEDF,是怎样的特殊平行四边形？证明你的结论,.,(1),BAC=,90,；,解：,(1),DE,AC,，,DF,AB,，,四边形,AEDF,为平行四边形,.,BAC=,90,，,AEDF,是矩形,.,A,B,C,D,E,F,新知巩固,3.,ABC,中，点,D、,E,、,F,分别在,BC、,AB,、,AC,上，且,DE,AC,，,DF,AB,根据下列条件，分别判断四边形,AEDF,是怎样的特殊平行四边形？证明你的结论,.,(2),AD,平分,BAC,；,(2),AD,平分,BAC,，,1=2.,DE,AC,，,3=2,，,1=3,，,AE,=,DE,.,AEDF,是菱形,.,A,B,C,D,E,F,1,2,3,新知巩固,3.,ABC,中，点,D、,E,、,F,分别在,BC、,AB,、,AC,上，且,DE,AC,，,DF,AB,根据下列条件，分别判断四边形,AEDF,是怎样的特殊平行四边形？证明你的结论,.,(3),BAC=,90,，,AD,平分,BAC.,(3),由,(1),得四边形,AEDF,是矩形，,由,(2),AE,=,DE,.,矩形,AEDF,是正方形,.,A,B,C,D,E,F,课堂小结,9.,4,矩形、菱形、正方形,(5),定义,性质,判定,当堂检测,1.,正方形具有而菱形不一定具有的性质是,(),A.,四条边相等,B.,对角线互相垂直平分,C.,对角线平分一组对角,D.,对角线相等,D,2.,正方形具有而矩形不一定具有的性质是,(),A.,四个角相等,B.,对角线互相垂直平分,C.,对角互补,D.,对角线相等,.,B,当堂检测,3.,在四边形,ABCD,中，,O,是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是,(),A.,AC,=,BD,，,ABCD,，,AB=CD,B.,ADBC,，,A,=,C,C.,AO,=,BO,=,CO,=,DO,，,AC,BD,D.,AO=CO,，,BO=DO,，,AB=BC,A,B,C,D,O,C,当堂检测,4.,如图，点,E,在正方形,ABCD,内，且,AEB,90,，,AE,6,，,BE,8,，则阴影部分的面积是,(,),A,48 B,60 C,76 D,80,A,B,C,D,E,C,当堂检测,(2),若,AC,=4,，则正方形边长为,，,周长为,，,面积是,；,5.(1),如图，有,个等腰直角三角形；,8,(3),延,CB,长到,E,，使,BE,=,BD,，连接,ED,，,E,=,_,度,.,22.5,2,A,B,C,D,O,E,8,8,当堂检测,6.,如图，直线,l,过正方形,ABCD,的顶点,B,，点,A,，,C,到直线,l,的距离,AE,，,CF,分别是,1 cm,，,2 cm,，则线段,EF,的长为,_cm.,3,A,B,C,D,l,E,F,2,1,当堂检测,7.,如图，在,ABC,中，,DE,CA,，,DF,BA,，下列说法：,如果,BAC,90,，那么四边形,AEDF,是矩形；,如果,AD,平分,BAC,，那么四边形,AEDF,是菱形；,如果,AD,BC,且,AB,AC,，那么四边形,AEDF,是正方形,.,其中正确的有,_,个,.,2,A,B,C,D,E,F,当堂检测,证明：,(1)在正方形,ABCD,中，,AB,DC,，,BAD,CDA,90.,在等边三角形,ADE,中，,AD,AE,DE,，,EAD,EDA,60,BAE,CDE,150.,在,ABE,和,DCE,中，,ABE,DCE,(,SAS,),，,BE,CE,.,8.,在正方形,ABCD,的外侧作等边三角形,ADE,，连接,BE,、,CE,.,(1),求证：,BE,CE,；,B,C,D,A,E,当堂检测,8.,在正方形,ABCD,的外侧作等边三角形,ADE,，连接,BE,、,CE,.,(2),求,BEC,的度数,B,C,D,A,E,解：,(2),AB,AD,，,AD,AE,，,AB,AE,.,由,(1),知，,BAE,150,，,AEB,(180,BAE,),15.,同理，,DEC,15.,ADE,是等边三角形，,AED,60,，,BEC,AED,AEB,DEC,60,15,15,30.,9.,如图，在正方形,ABCD,中，,P,为,BD,上一点，,PE,BC,于,E,，,PF,DC,于,F,.,试说明：,AP,=,EF,.,A,B,C,D,P,E,F,解,:,连接,PC,，,AC,.,又,PE,BC,，,PF,DC,，,四边形,ABCD,是正方形，,FCE,=90,，,AC,垂直平分,BD,，,四边形,PECF,是矩形，,PC,=,EF,.,AP,=,PC,.,AP,=,EF,.,当堂检测,