单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,9.4矩形、菱形、正方形,（,4,）,第4课时菱形的判定,学习目标,1.,探索并证明,菱,形的判定定理,;,2.,能应用菱形的判定定理解决问题，进一步体会推理的基本方法,.,将,2,张等宽的矩形纸片叠合在一起,(,如图,),，请你猜想它是什么特殊的四边形？请动手叠一叠,.,问题情境,B,A,D,C,1,.,我们知道，,菱,形的四,条边,都,相等,反过来，四条边都相等的四边形是菱形吗？,思考与探索,证明：,AB,=,BC,=,CD,=,AD,，,AB,=,CD,，,BC=AD,.,四边形,ABCD,是平行四边形,.,又,AB,=,BC,，,四边形,ABCD,是菱形,.,已知：,如图，四边形,ABCD,中,，,AB,=,BC=CD=AD.,求证：,四边形,ABCD,是菱形,.,B,A,D,C,思考与探索,2.我们知道，当平移一个平行四边形活动框架的一边，使这个平行四边形成菱形时，它的两条对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？,B,A,D,C,O,已知：,如图，四边形,ABCD,是平行四边形，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,，,AC,BD,.,求证：,ABCD,是菱形,.,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形,.,OA,=,OC,.,又,AC,BD,BD,是线段,AC,的垂直平分线,.,BA,=,BC,.,ABCD,是菱形,.,还有其它证明方法吗？,新知归纳,四边相等,的,四边形,是,菱形,.,对角线互相垂直,的,平行四边形,是,菱形,.,符号语言：,AB,=,BC,=,CD,=,AD,，,四边形,ABCD,是菱形,.,AC,BD,，,ABCD,是菱形,.,B,A,D,C,O,新知归纳,A,B,C,D,四边形,ABCD,四边相等,B,D,ABCD,A,C,有,一组邻边相等,对角线互相垂直,判断一个四边形是菱形有哪些方法？,B,A,D,C,O,菱形,ABCD,对角线互相垂直的,四边形,是菱形吗？,讨论与交流,新知巩固,有一组邻边相等的,四边形,是菱形,.(),四条边都相等的,四边形,是菱形,.(),对角线互相平分且有一组邻边相等的,四边形,是菱形,.(),对角线互相垂直的,四边形,是菱形,.(),对角线互相垂直平分的,四边形,是菱形,(),判断：,新知应用,B,A,D,C,猜想：,四边形,ABCD,是菱形,.,易知四边形,ABCD,是,平行四边形,，只需证,一组邻边相等,或,对角线互相垂直,即可,.,E,F,证明：,由两个纸条是矩形可得,ABCD，ADBC,，,四边形,ABCD,是平行四边形，,B,=,D,，,过,A,作,AE,BC,，,AF,CD,，垂足为,E、F,，,两张矩形纸条宽度相同，,AE=AF,，,在,ABE,和,ADF,中，,，,ABE,ADF,(AAS)，,AB,=,AD,，,四边形,ABCD,是菱形,.,例题讲解,例,1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，对角线,AC,的垂直平分线与边,AD,、,BC,分别相交于点,E,、,F,求证：四边形,AFCE,是菱形,O,B,A,D,C,F,E,1,2,证法,1,：,AD,BC,，,1=2.,EF,垂直平分,AC,，,OA,=,OC,，,AOE,=,COF,，,AOE,COF,.,OE,=,OF,.,四边形,AFCE,是平行四边形,.,又,EF,AC,，,AFCE,是菱形.,EF,垂直平分,AC,，,A,E,=,CE,，,AFCE,是菱形.,例题讲解,例,1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，对角线,AC,的垂直平分线与边,AD,、,BC,分别相交于点,E,、,F,求证：四边形,AFCE,是菱形,O,B,A,D,C,F,E,1,2,证法,2,：,AD,BC,，,1=2.,EF,垂直平分,AC,，,OA,=,OC,，,AOE,=,COF,，,AOE,COF,.,A,E,=,C,F,.,EF,垂直平分,AC,，,A,E,=,CE,，,AF,=,CF,.,A,E,=,CE,=,AF,=,CF,.,四边形,AFCE,是菱形.,1.,如图，,E、F、G、H,分别是矩形,ABCD,各边的中点，四边形,EFGH,是怎样的特殊四边形？证明你的结论?,解：,四边形,EFGH,是菱形,.,证明：四边形,ABCD,是矩形，,A,D,=B,C,，,AB=DC,，,A,=,B,=,C,=,D,=90,E、F、G、H,分别是矩形的各边中点,AH=DH=BF=CF,，,AE=BE=DG=CG,A,EH,BEF,CGF,DGH,(SAS),EH,=,EF=G,F,=,GH,，,四边形,EFGH,是菱形,.,A,B,C,D,G,F,H,E,新知巩固,中点四边形,新知巩固,2,.,已知：如图，矩形,ABCD,的对角线,AC、BD,相交于点,O,，,BE,AC,，,CEDB,.,求证：四边形,OBEC,是菱形.,A,B,C,D,O,E,证明：,BE,AC,，,CEDB,，,四边形,OBEC,是平行四边形,.,四边形,ABCD,是矩形，,AC,BD,，,AO,CO,AC,，,BO,DO,BD,，,AO,BO.,四边形,OBEC,是菱形,.,新知巩固,3,.,已知：如图，在,ABCD,中，,BAD,的平分线交,BC,于点,E,，,ABC,的平分线交,AD,于点,F,.,求证：四边形,ABEF,是菱形.,A,B,C,D,E,F,A,B,C,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AD/BC,，,AFB,=,EBF,，,BAD,+,ABC,=180,.,AE,、,BF,分别是,BAD,和,ABC,的平分线，,BAE,=,BAD,，,ABF,=,EBF,=,ABC,，,AFB,=,ABF,，,AB=AF,.,同理，,AB=BE,.,AF=BE,.,AD/BC,，,四边形,ABEF,是平行四边形.,BAE,+,ABF,=,BAD,+,AB,C=,180,=,90,AE,BF,，,四边形,ABEF,是菱形.,课堂小结,9.,4,矩形、菱形、正方形,(4),有一组邻边相等的平行四边形,四边相等的四边形,对角线互相垂直的平行四边形,1.,下列命题中正确的是,(,),A.,一组邻边相等的四边形是菱形,B.,一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形,C.,对角线垂直的四边形是菱形,D.,对角线相等的四边形是菱形,当堂检测,B,当堂检测,2.,如图，在,ABC,中，,DEBC,，,EFAB,，要判定四边形,DBFE,是菱形，还需要添加的条件是(),A.,ABAC,B.,ADBD,C.,BE,AC,D.,BE,平分,ABC,D,D,E,F,A,B,C,当堂检测,3.,在,ABC,中，,AD,平分,BAC,，按如下步骤作图：,第一步，分别以点,A,、,D,为圆心，以大于,AD,的一半长为半径在,AD,两侧作弧，交于两点,M,、,N,；,第二步，连接,MN,分别交,AB,、,AC,于点,E,、,F,；,第三步，连接,DE,、,DF,.,则可以得到四边形,AEDF,的形状,(,),A.,仅仅只是平行四边形,B.,是矩形,C.,是菱形,D.,无法判断,C,当堂检测,第,4,课时菱形的判定,4.,如图，四边形,ABCD,的对角线互相垂直，且,OB,OD,，请你添加一个适当的条件,_,，,使四边形,ABCD,成为菱形,(,只需添加一个即可,),答案不唯一，如,OA,OC,或,AD,BC,或,ADBC,或,AB,BC,等,B,A,D,C,O,当堂检测,5.,如图，矩形,ABCD,的对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,DE,AC,，,CE,BD,.,若,AC,10,，则四边形,OCED,的周长是,_.,20,E,A,B,C,D,O,当堂检测,6.,如图，四边形,ABCD,的对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，且,AO,OC,6 cm,，,BO,OD,8 cm,，,AB,10 cm,，四边形,ABCD,是菱形吗？请说明理由,.,B,A,D,C,O,解：,四边形,ABCD,是菱形,，,理由如下：,AO,OC,，,BO,OD,，,四边形,ABCD,是平行四边形,AO,6,cm,，,BO,8,cm,，,AB,10,cm,，,AO,2,BO,2,AB,2,，,AOB,是直角三角形,，,AOB,90,，,即,AC,BD,，,四边形,ABCD,是菱形,当堂检测,7.,如图，在矩形,ABCD,中，,AB,4,，,BC,8,，点,E,、,F,分别在边,AD,、,BC,上，,BF,DE,3.,求证：四边形,AFCE,是菱形,证明：,四边形,ABCD,是矩形，,CD,AB,4,，,AD,BC,8,B,D,90.,BF,DE,3,，,在,Rt,ABF,中，由勾股定理得,AF,=,=,=5.,同理得：,CE,5,，,CF,BC,BF,8,3,5,，,AE,AD,DE,8,3,5,，,AF,CF,CE,AE,，,四边形,AFCE,是菱形,E,B,A,C,D,F,当堂检测,8.,如图，在,ABCD,中，,AC,，,BD,交于点,O,，点,E,，,F,在,AC,上，,AE,CF,.(1),求证：四边形,EBFD,是平行四边形；,A,D,C,B,O,E,F,证明：,在,ABCD,中，,OA,OC,，,OB,OD,，,AE,CF,，,OE,OF,，,四边形,EBFD,是平行四边形,当堂检测,8.,如图，在,ABCD,中，,AC,，,BD,交于点,O,，点,E,，,F,在,AC,上，,AE,CF,.,(2)若,BAC,DAC,，求证：四边形,EBFD,是菱形.,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB,DC,，,BAC,DCA,.,BAC,DAC,，,DCA,DAC,，,DA,DC,，,平行四边形,ABCD,是菱形,AC,BD,，,EBFD,是菱形,A,D,C,B,O,E,F,9.,已知：如图，,ABC,中，,ACB,90,，,CD,是高，,AE,是角平分线，交,CD,于,F,，,EG,AB,，,G,是垂足，四边形,CEGF,是菱形吗？为什么？,A,D,C,B,E,F,G,证明：,AE,平分BAC,ACB,90,，,EG,AB,CE,=,EG,，,AEG,=,AEC,，,在,CEF,和,GEF,中，,CEF,GEF,(SAS)，,FG,=,CF,，,CFE,=,GFE,，,CD,AB,，,EG,AB,，,CD,EG,，,CFE,=,GEF,，,又,CFE,=,GFE,，,CFE,=,CEF,，,CF,=,CE,，,又,FG,=,FC,，,CE,=,EG,CF,=,CE,=,EG,=,FG,，,四边形,CEGF,是菱形,.,当堂检测,思维提升,1.,画一个菱形使它的两条对角线长分别是,6cm,，,8cm.,3cm,4cm,2.,如图,，,已知,ABD,、,BCE,、,ACF,都是等边三角形,.,ABC,满足什么条件时,，,四边形,ADEF,是菱形,？,请说明理由,.,A,D,C,B,E,F,解,：,ABD,和,BCE,都是等边三角形,AB=DB,，,BC=BE,，,DBA=,EBC=,60,DBE+,EBA=,ABC+,EBA,，,DBE=,ABC.,在,ABC,与,DBE,中,，,ABC,DBE,(,SAS,),，,AC=DE.,ACF,是等边三角形,，,AF=AC,，,DE=AF.,同理可得,：,EF=AD,，,四边形,ADEF,是平行四边形,.,当,ABC满足AB=ACBC,时,，,四边形,ADEF,是菱形.,思维提升,