单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等院校非数学类本科数学课程,一元微积分学,大 学 数 学,（,一,）,第二十二讲 定积分的概念,脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中,第五章 一元函数的积分,本章学习要求：,熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.,熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换,元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.,了解利用建立递推关系式求积分的方法.,理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.,熟悉牛顿莱布尼兹公式.,理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.,能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。,掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分,表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面,的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的,弧长、变力作功、液体的压力等。,能利用定积分定义式计算一些极限。,第一节 定积分的概念,第五章 一元函数的积分,二.定积分的定义,一.曲边梯形的面积,三.定积分的性质,第五章 一元函数的积分,第一节 定积分的概念和性质,在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时，,南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了,近似值.,在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。,阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与,x,轴及直线,x,=1 所围成的平面图形面积的近似值.,就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.,如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?,一.曲边梯形的面积,曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互,平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条,曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点,（这里不排除某直线缩成一点）.,1.曲边梯形,2.求曲边梯形的面积,首先，我们重复阿基米德的做法：,分划代替求和,得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，,求出曲边梯形的精确值.,第一步：分划,任意引入分点,称为区间的一个分法 T,第二步：代替,对每个小曲边梯形均作上述的代替,第三步：求和,第四步：取极限,二.定积分的定义,任意引入分点,定积分符号：,关于定积分定义的几点说明,定积分的几何意义,由极限保号性：,面积：,定积分的几何意义,喂！请问什么样的函数可积？,下面是几个关于函数可积性的定理.,运用定积分的概念及定积分的几何意义,由函数的极限运算性质容易证明它们,所以我们在这里不进行证明.,喂!,定理 1,定理 2,定理 3,定理 4,定理 5,三.定积分的性质,由于定积分是一种和式的极限,所以极限,的某些性质在定积分中将有所反映.,在以下的叙述中,假设所出现的函数均可,积,所出现的定积分均存在.,证,证,由定积分定义及极限运算性质：,可以推广至有限个可积函数的情形.,证,(小于零的情形类似.),由极限的保号性立即可知.,代数和,例,1,证,/,/,有什么结论？,换成,例,2,证,请同学们自己在下面做.,/,与性质 3 的推论 1 不同，,这里的结论是严格不等号！,证,例,3,证,所以,例,4,证,证,从证明的过程中，你是否发现性质 6 的 条件可以减弱？,条件减弱后，结论是否也要调整？,要真正把书看懂，,不下点功夫是不行的！,例,5,解,由积分中值定理,例,6,解,谢谢观看！,