单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,乘法公式,第,2,章 整式的乘法,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,2.2.2,完全平方公式,第,1,课时,完全平方公式,七年级数学下（,XJ,）,教学课件,学习目标,1.,理解并掌握,完全平方,公式的推导过程、结构特点,;,（重点）,2.,会运用公式进行运算；,(,难点,),平方差公式：,(,a+b,)(,a,b,),=a,2,b,2,2.,公式的结构特点：,左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差,.,1.,由下面的两个图形你能得到哪个公式？,导入新课,复习巩固,情境引入,一块边长为,a,米的正方形实验田，,因需要将其边长增加,b,米,.,形成四块实验田，以种植不同的新品种,(,如图,).,用不同的形式表示实验田的总面积,并进行,比较,.,你发现了什么？,a,a,b,b,直接求：总面积,=,(,a+b,)(,a+b,),间接求：总面积,=,a,2,+,ab+ab+b,2,(,a+b,),2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,讲授新课,一,完全平方公式的认识,计算下列多项式的积，你能发现什么规律？,（,1,）（,p,+1),2,=(,p,+1)(,p,+1)=,.,p,2,+2,p,+1,（,2,）（,m,+2),2,=(,m,+2)(,m,+2)=,.,m,2,+4,m,+4,（,3,）（,p,1),2,=(,p,1)(,p,1)=,.,p,2,2,p,+1,（,4,）（,m,2),2,=(,m,2)(,m,2)=,.,m,2,4,m,+4,根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？,(,a,b,),2,=,.,a,2,+2,ab,+,b,2,(,a,b,),2,=,.,a,2,2,ab,+,b,2,知识要点,完全平方公式,（,a,+,b,),2,=,.,a,2,+2,ab,+,b,2,（,a-b,),2,=,.,a,2,-2,ab,+,b,2,两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的,2,倍,.,这两个公式叫作完全平方公式,.,简记为：,“首平方，尾平方，,积的,2,倍放中间”,公式特征：,1.,积为二次三项式；,2.,积中的两项为两数的平方；,3.,另一项是两数积的,2,倍，且与乘式中间的符号相同,.,4.,公式中的字母,a,，,b,可以表示数，单项式和多项式,.,你能根据图,1,和图,2,中的面积解释完全平方公式吗,?,b,a,a,b,b,a,b,a,图,1,图,2,想一想,:,几何解释,:,a,a,b,b,=,+,+,+,a,2,ab,ab,b,2,（,a,+,b,),2,=,.,a,2,+2,ab,+,b,2,和的完全平方公式：,a,2,a,b,b,(,a,b,),=,a,2,2,a,b,+,b,2,.,=,(,a,b,),2,a,b,a,b,a,a,a,b,b,(,a,b,),b,b,(,a,b,),2,几何解释,:,（,a,-,b,),2,=,.,a,2,-2,ab,+,b,2,差的完全平方公式：,典例精析,例,1,运用完全平方公式计算：,解,:,(2,x,3),2,=,=4,x,2,(1)(2,x,3),2,；,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,(2,x,),2,2(2,x,)3,+3,2,12,x,+9,；,(,a,+,b,),2,=,a,2,+,2,ab,+,b,2,y,2,(2)(,y,+,),2,.,=,y,2,+,y,+,+(),2,+,2,y,解：,(,y,+,),2,=,例,2,如果,36,x,2,(,m,1),xy,25,y,2,是一个完全平,方式，求,m,的值,解：,36,x,2,(,m,1),xy,25,y,2,(6,x,),2,(,m,1),xy,(5,y,),2,，,(,m,1),xy,2,6,x,5,y,，,m,1,60,，,m,59,或,61.,方法总结：,两数的平方和加上或减去它们积的,2,倍，就构成了一个完全平方式注意积的,2,倍的符号，避免漏解,当堂练习,1,在等号右边的括号内填上适当的项：,（,1,）,a,+,b,c=a,+,（）,（,2,）,a,b+c=a,（）,（,3,）,a,b,c=a,（）,（,4,）,a+b+c=a,（）,b-c,b-c,b+c,-,b-c,能否用去括号法则检查添括号是否正确,?,2.,下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当,怎样改正？,（,1,）,(,x,+,y,),2,=,x,2,+,y,2,(2)(,x,y,),2,=,x,2,y,2,(3)(,x,+,y,),2,=,x,2,+2,xy,+,y,2,(4)(2,x,+,y,),2,=4,x,2,+2,xy,+,y,2,x,2,+2,xy,+,y,2,x,2,2,xy,+,y,2,x,2,2,xy,+,y,2,4,x,2,+,4,xy,+,y,2,(1)(6,a,+5,b,),2,；,=36,a,2,+60,ab,+25,b,2,；,(2)(4,x,3,y,),2,；,=16,x,2,24,xy,+9,y,2,；,(3)(2,m,1),2,；,=4,m,2,4,m,+1,；,(4)(,2,m,1),2,.,=4,m,2,+4,m,+1.,3.,运用完全平方公式计算,:,课堂小结,完全平方公式,法则,注意,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab+b,2,1.,项数、符号、字母及其指数,2.,不能直接应用公式进行计算,的式子，需要先添括号变形,3.,弄清完全平方公式和平方差,公式的不同点（从公式结构,特点及结果两方面）,学习目标,1.,探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化,思想,（重点）,2.,能,会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进,行因式分解,（难点）,导入新课,a,米,b,米,b,米,a,米,(,a,-,b,),情境引入,如图，在边长为,a,米的正方形上剪掉一个边长为,b,米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？,a,2,-,b,2,=,(,a+b,)(,a,-,b,),讲授新课,用平方差公式进行因式分解,一,想一想：,多项式,a,2,-,b,2,有什么特点？你能将它分解因式吗？,是,a,b,两数的平方差的形式,),)(,(,b,a,b,a,-,+,=,2,2,b,a,-,),)(,(,2,2,b,a,b,a,b,a,-,+,=,-,整式乘法,因式分解,两个数的,平方差,，等于这两个数的,和,与这两个数的,差,的,乘积,.,平方差公式：,辨一辨：,下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？,符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成,:,(),2,-(),2,的形式,.,（,1,）,x,2,+,y,2,（,2,）,x,2,-,y,2,（,3,）,-,x,2,-,y,2,-(,x,2,+,y,2,),y,2,-,x,2,（,4,）,-,x,2,+,y,2,（,5,）,x,2,-25,y,2,(,x,+5,y,)(,x,-5,y,),（,6,）,m,2,-1,(,m,+1)(,m,-1),例,1,分解因式：,a,a,b,b,(,+,),(,-,),a,2,-,b,2,=,解,:(1),原式,=,2,x,3,2,x,2,x,3,3,(2),原式,a,b,典例精析,方法总结：,公式中的,a,、,b,无论表示,数、单项式、,还是,多项式,，只要被分解的多项式能,转化,成,平方差,的形式，就能用平方差公式因式分解,.,分解因式：,(1)(,a,b,),2,4,a,2,；,(2)9(,m,n,),2,(,m,n,),2,.,针对训练,(2,m,4,n,)(4,m,2,n,),解：,(1),原式,(,a,b,2,a,)(,a,b,2,a,),(,b,a,)(3,a,b,),；,(2),原式,(3,m,3,n,m,n,)(3,m,3,n,m,n,),4(,m,2,n,)(2,m,n,),若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解,.,当场编题，考考你！,),)(,(,2,2,b,a,b,a,b,a,-,+,=,-,20,15,2,20,14,2,=,（,2mn,）,2,-,(3xy),2,=,(,x,+,z,),2,-,(,y,+,p,),2,=,例,2,分解因式：,解：,(1),原式,(,x,2,),2,-,(,y,2,),2,(,x,2,+y,2,)(,x,2,-,y,2,),分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解,.,(,x,2,+y,2,)(,x+y,)(,x,-,y,);,(2),原式,ab,(,a,2,-,1),分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法,.,最后进行检查,.,ab,(,a+,1)(,a,-,1).,方法总结：,分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止,分解因式：,(1),5,m,2,a,4,5,m,2,b,4,；,(2),a,2,4,b,2,a,2,b,.,针对训练,(,a,2,b,)(,a,2,b,1).,5,m,2,(,a,2,b,2,)(,a,b,)(,a,b,),；,解：,(1),原式,5,m,2,(,a,4,b,4,),5,m,2,(,a,2,b,2,),(,a,2,b,2,),(2),原式,(,a,2,4,b,2,),(,a,2,b,),(,a,2,b,)(,a,2,b,),(,a,2,b,),例,3,把,x,3,y,2,-,x,5,因式分解.,解：,x,3,y,2,-,x,5,=,x,3,(,y,2,-,x,2,),=,x,3,(,y,+,x,)(,y,-,x,),分析:,x,3,y,2,-,x,5,有公因式,x,3,，应先提出公因式，再用公式进行因式分解.,问题：能直接用公式分解因式吗？,又如：把,-4,ax,2,+16,ay,2,因式分解,解：-4,ax,2,+16,ay,2,=-4,a,(,x,2,-4,y,2,),=-4,a,(,x,+2,y,)(,x,-2,y,),例,4,已知,x,2,y,2,2,，,x,y,1,，求,x,-,y,，,x,，,y,的值,x,y,2.,解：,x,2,y,2,(,x,y,)(,x,y,),2,，,x,y,1,，,联立,组成二元一次方程组，,解得,方法总结：,在与,x,2,y,2,，,x,y,有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后,整体代入,或,联立方程组,求值,.,例,5,计算下列各题：,(1)101,2,99,2,；,2,2,4.,解：,(1),原式,(101,99)(101,99),400,；,(2),原式,4,2,2,),=4(,)(,),4,100,7=2800.,方法总结：,较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化,.,例,6,求证：当,n,为整数时，多项式,(,2,n,+1,),2,-,(,2,n,-1,),2,一定能被8整除,即多项式,(,2,n,+1,),2,-,(,2,n,-1,),2,一定能被8整除,证明：原式=,(,2,n,+1+2,n,-1,)(,2,n,+1-2,n,+1,),=4,n,2=8,n,，,n,为整数，,8,n,被8整除，,方法总结：,解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除,1.,下列多项式中能用平方差公式分解因式的是,(,),A,a,2,(,b,),2,B,5,m,2,20,mn,C,x,2,y,2,D,x,2,9,当堂练习,D,2.,分解因式,(,2,x,+3,),2,-,x,2,的结果是（）,A3,(,x,2,+4,x,+3,),B3,(,x,2,+2,x,+3,),C,(,3,x,+3,),(,x,+3,),D3,(,x,+1,)(,x,+3,),D,3.,若,a,+,b,=3,，,a,-,b,=7,