,14.1,坐标系与参数方程,第,1,课时,坐标系,14.1坐标系与参数方程第1课时坐标系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引,基础知识自主学习,基础知识自主学习,设点,P,(,x,，,y,),是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,：,_,的作用下，点,P,(,x,，,y,),对应到点,P,(,x,，,y,),，称,为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换,.,1.,平面直角坐标系,知识梳理,2.,极坐标系,(1),极坐标与极坐标系的概念,在平面内取一个定点,O,，自点,O,引一条射线,Ox,，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向,(,通常取逆时针方向,),，这样就建立了一个极坐标系,.,点,O,称为极点，射线,Ox,称为极轴,.,设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_,平面内任一点,M,的位置可以由线段,OM,的长度,和从射线,Ox,到射线,OM,的角度,来刻画,(,如图所示,).,这两个数组成的有序数对,(,，,),称为点,M,的极坐标,.,称为点,M,的,，,称为点,M,的,.,一般认为,0.,当极角,的取值范围是,0,2),时，平面上的点,(,除去极点,),就与极坐标,(,，,)(,0),建立一一对应的关系,.,我们设定，极点的极坐标中，极径,0,，极角,可取任意角,.,极径,极角,平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线,(2),极坐标与直角坐标的互化,设,M,为平面内的一点，它的直角坐标为,(,x,，,y,),，极坐标为,(,，,).,由图可知下面关系式成立：,这就是极坐标与直角坐标的互化公式,.,(2)极坐标与直角坐标的互化这就是极坐标与直角坐标的互化公式,3.,常见曲线的极坐标方程,r,(0,2),2,r,cos,(,),2,r,sin,(0,),3.常见曲线的极坐标方程r(02)2rcos,sin,a,(0,),sin a,1.(2016,北京西城区模拟,),求在极坐标系中，过点,(2,，,),且与极轴平行的直线方程,.,考点自测,解答,过点,(0,2),且与,x,轴平行的直线方程为,y,2.,即为,sin,2.,1.(2016北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，,解答,解答,3.,在以,O,为极点的极坐标系中，圆,4sin,和直线,sin,a,相交于,A,，,B,两点,.,当,AOB,是等边三角形时，求,a,的值,.,解答,3.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线si,由,4sin,可得,x,2,y,2,4,y,，即,x,2,(,y,2),2,4.,由,sin,a,可得,y,a,.,设圆的圆心为,O,，,y,a,与,x,2,(,y,2),2,4,的两交点,A,，,B,与,O,构成等边三角形，如图所示,.,由对称性知,O,OB,30,，,OD,a,.,由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)2,题型分类深度剖析,题型分类深度剖析,题型一极坐标与直角坐标的互化,例,1,(1),以直角坐标系的原点为极点，,x,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段,y,1,x,(0,x,1),的极坐标方程,.,解答,y,1,x,化成极坐标方程为,cos,sin,1,，,0,x,1,，,线段在第一象限内,(,含端点,),，,题型一极坐标与直角坐标的互化例1(1)以直角坐标系的原点,(2),在极坐标系中，曲线,C,1,和,C,2,的方程分别为,sin,2,cos,和,sin,1.,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为,x,轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线,C,1,和,C,2,交点的直角坐标,.,解答,因为,x,cos,，,y,sin,，由,sin,2,cos,，得,2,sin,2,cos,，,所以曲线,C,1,的直角坐标方程为,y,2,x,.,由,sin,1,，得曲线,C,2,的直角坐标方程为,y,1.,(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2,思维升华,(1),极坐标与直角坐标互化的前提条件：,极点与原点重合；,极轴与,x,轴的正半轴重合；,取相同的单位长度,.,(2),直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式,x,cos,及,y,sin,直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如,cos,，,sin,，,2,的形式，进行整体代换,.,思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：,跟踪训练,1,(1),曲线,C,的直角坐标方程为,x,2,y,2,2,x,0,，以原点为极点，,x,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线,C,的极坐标方程,.,解答,将,x,2,y,2,2,，,x,cos,代入,x,2,y,2,2,x,0,，,得,2,2,cos,0,，整理得,2cos,.,跟踪训练1(1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0,(2),求在极坐标系中，圆,2cos,垂直于极轴的两条切线方程,.,解答,由,2cos,，得,2,2,cos,，化为直角坐标方程为,x,2,y,2,2,x,0,，即,(,x,1),2,y,2,1,，其垂直于,x,轴的两条切线方程为,x,0,和,x,2,，,(2)求在极坐标系中，圆2cos 垂直于极轴的两条切线,题型二求曲线的极坐标方程,例,2,将圆,x,2,y,2,1,上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的,2,倍，得曲线,C,.,(1),写出曲线,C,的方程；,解答,设,(,x,1,，,y,1,),为圆上的点，在已知变换下变为曲线,C,上的点,(,x,，,y,),，,题型二求曲线的极坐标方程例2将圆x2y21上每一点的,(2),设直线,l,：,2,x,y,2,0,与,C,的交点为,P,1,，,P,2,，以坐标原点为极点，,x,轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段,P,1,P,2,的中点且与,l,垂直的直线的极坐标方程,.,解答,(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐,化为极坐标方程，并整理得,2,cos,4,sin,3,，,化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3,思维升华,求曲线的极坐标方程的步骤：,(1),建立适当的极坐标系，设,P,(,，,),是曲线上任意一点；,(2),由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径,和极角,之间的关系式；,(3),将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程,.,思维升华求曲线的极坐标方程的步骤：,跟踪训练,2,在极坐标系中，已知圆,C,经过点,P,(),，圆心为直线,与极轴的交点，求圆,C,的极坐标方程,.,解答,跟踪训练2在极坐标系中，已知圆C经过点P(,令,0,，得,1,，,所以圆,C,的圆心坐标为,(1,0).,如图所示，因为圆,C,经过点,于是圆,C,过极点，所以圆,C,的极坐标方程为,2cos,.,令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0).如图所示,题型三极坐标方程的应用,例,3,(2015,课标全国,),在直角坐标系,xOy,中，直线,C,1,：,x,2,，圆,C,2,：,(,x,1),2,(,y,2),2,1,，以坐标原点为极点，,x,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,.,(1),求,C,1,，,C,2,的极坐标方程；,解答,因为,x,cos,，,y,sin,，,所以,C,1,的极坐标方程为,cos,2,，,C,2,的极坐标方程为,2,2,cos,4,sin,4,0.,题型三极坐标方程的应用例3(2015课标全国)在直角,由于,C,2,的半径为,1,，所以,C,2,MN,为等腰直角三角形，,解答,由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，解答,思维升华,(1),已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；,(2),在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性,.,思维升华(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角,跟踪训练,3,(2017,广州调研,),在极坐标系中，求直线,sin(,),2,被圆,4,截得的弦长,.,解答,跟踪训练3(2017广州调研)在极坐标系中，求直线si,课时作业,课时作业,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答12345678910,2.,在极坐标系,(,，,)(0,2),中，求曲线,(cos,sin,),1,与,(sin,cos,),1,的交点的极坐标,.,解答,曲线,(cos,sin,),1,化为直角坐标方程为,x,y,1,，,(sin,cos,),1,化为直角坐标方程为,y,x,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos,3.,在极坐标系中，已知圆,3cos,与直线,2,cos,4,sin,a,0,相切，求实数,a,的值,.,解答,圆,3cos,的直角坐标方程为,x,2,y,2,3,x,，,直线,2,cos,4,sin,a,0,的直角坐标方程为,2,x,4,y,a,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.在极坐标系中，已知圆3cos 与直线2cos,以极点为坐标原点，极轴为,x,轴建立直角坐标系，,则曲线,2cos,的直角坐标方程为,(,x,1),2,y,2,1,，,且圆心为,(1,0).,因为圆心,(1,0),关于,y,x,的对称点为,(0,1),，,所以圆,(,x,1),2,y,2,1,关于,y,x,的对称曲线为,x,2,(,y,1),2,1.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，因为圆心(1,0,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答12345678910,对曲线,C,1,的极坐标方程进行转化：,12sin,，,2,12,sin,，,x,2,y,2,12,y,0,，,即,x,2,(,y,6),2,36.,对曲线,C,2,的极坐标方程进行转化：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,对曲线C1的极坐标方程进行转化：12345678910,解答,OA,4,，,OB,5,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答OA4，OB5，12345678910,7.,已知,P,(5,，,),，,O,为极点，求使,POP,为正三角形的点,P,的坐标,.,解答,设,P,点的极坐标为,(,，,).,POP,为正三角形，如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.已知P(5，)，O为极点，求使POP为正三角形,8.,在极坐标系中，判断直线,cos,sin,1,0,与圆,2sin,的位置,关系,.,直线,cos,sin,1,0,可化成,x,y,1,0,，圆,2sin,可化为,x,2,y,2,2,y,，即,x,2,(,y,1),2,1.,解答,故直线与圆相交,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.在极坐标系中，判断直线cos sin 10,解答,(1),将,M,、,N,、,P,三点的极坐标化为直角坐标；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；123456,解答,(2),判断,M,、,N,、,P,三点是否在一条直线上,.,k,MN,k,NP,，,M,、,N,、,P,三点在一条直线上,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.kMNkN,(1),写出,C,的直角坐标方程，并求,M,、,N,的极坐标；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；解答1234,当,0,时，,2,，所以,M,(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当0时，2，所以M(2,0).12345678910,(2),设,MN,的中点为,P,，求直线,OP,的极坐标方程,.,解答,M,点的直角坐标为,(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.解答M点的直,