20242025学年第一学期10月期中考试高二数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设为实数，已知直线，若，则（ ）A. 6B. C. 6或D. 或3【答案】A【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为，所以，解得：或.当时，平行；当时，可判断此时重合，舍去.故选：A2. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）A. B. 6C. 12D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的焦点位置以及焦距，列式求解，即得答案.【详解】由于焦点在轴上的椭圆的焦距为6，故，故选：C3. 如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可求解.【详解】因为:，所以：.又因为：，所以：，所以：.故C项正确.故选：C.4. 过点且与圆相切的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断出点M圆上，进而求出切线斜率即可得到答案.【详解】因为，所以点M在圆上，而，则切线斜率为，所以切线方程为：即故选：A5. “”是“方程表示双曲线”的（ ）条件A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用集合法进行求解.【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或.即.因为是的真子集，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B6. 一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，由直线的两点式即可求解.【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点，因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为，即.故选：.7. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可.【详解】设点，因为，所以，代入直线方程可得：，化简可得：所以的轨迹方程为.故选：C8. 已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】证明，根据基本不等式求的最小值.【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F，所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明），所以，当且仅当时取“=”.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（ ）A. 双曲线C的焦点坐标为B. 双曲线C的渐近线方程为C. 点在双曲线C上D. 直线与双曲线C恒有两个交点【答案】AC【解析】【分析】由题意求出，即可求出双曲线方程，可得焦点坐标，判断AB；代入验证可判断C；求出直线所过定点，结合举特值，即可判断D.【详解】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为，离心率，所以，所以，所以双曲线C的方程为，所以C的焦点坐标为，A正确双曲线C的渐近线方程为，B错误因为，所以点在双曲线C上，C正确直线即，恒过点，即双曲线的右顶点，当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误故选：AC10. 已知为圆直径，且不与轴重合，直线与轴交于点，则（ ）A. 与恒有公共点B. 是钝角三角形C. 的面积的最大值为1D. 被截得的弦的长度的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】是一个在圆内的定点，可以判断A，B选项；根据是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；被截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项.【详解】直线与轴交于点，所以，易知在圆内部，所以与恒有公共点，A正确因为在圆内部，所以为钝角，所以是钝角三角形，B正确点到的最大距离即点M与圆心之间的距离，为1，所以，C错误被截得的弦的长度最小时，圆心到直线的距离最大，易知此距离为点与圆心之间的距离为1，所以最短弦长为，D正确故选：ABD11. 如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，空间中一点满足，则（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值B. 若，则点的轨迹长度为3C. 若，则的最小值为D. 若，则点到的距离的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断到平面的距离为定值，又的面积为定值可求出；B：作图找到点P位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到P的位置，再点到直线的距离求最小值；D：建系，用空间向量关系求出到的距离，再用二次函数的性质求出最值.【详解】 对A，若，分别作棱，的中点，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；若，分别作，的中点，则点的轨迹为线段，易知，故B错误；若，则，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确；若，则点在线段上，易证，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，所以点到的距离，所以当时，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_.【答案】2xy0或xy10【解析】【分析】直线过原点有直线方程为2xy0；直线不过原点时，设轴截距为，则轴截距为，根据截距式并结合所过的点求，写出方程.【详解】当直线过原点时，得直线方程为2xy0；当在坐标轴上的截距不为零时，设轴截距为，则轴截距为，可设直线方程为，将P(1,2)代入方程，可得，得直线方程为xy10.综上，直线方程为2xy0或xy10.故答案为：2xy0或xy10.13. 若双曲线的一条渐近线与圆交于两点， 则_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的渐近线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解.【详解】由双曲线，可得， 又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即，因为圆的圆心为，半径，所以圆心到渐近线的距离为，由圆的弦长公式，可得.故答案为：.14. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的左右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形的面积，得到方程，即可得到离心率的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知为椭圆通径的一半，故，的面积为，又由于的内切圆的半径为，则的面积也可表示为，所以，即，整理得：，两边同除以，得，所以或，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.【答案】（1） （2）或.【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设，从而得到，由在圆上，代入方程求解即可解决问题.【小问1详解】设圆M的方程为，因为圆过点，所以，又因为圆心在直线上，所以，直线与圆M相切，得到，由解得：因此圆的方程为【小问2详解】设，因为A为线段BD的中点，所以，因为在圆上，所以，解得或当时，由可知直线的方程为；当时，由可得斜率，故直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.16. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，.（1）证明：四点共面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，结合空间向量线性运算的坐标表示可得，进而求证；（2）求出平面的法向量，结合空间向量知识求解即可.【小问1详解】证明：因为平面，平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以.以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由，得，则.所以，设，则，解得，所以，故四点共面.【小问2详解】设平面的法向量为，由，得，取，则，又，所以点到平面的距离.17. 已知椭圆的左右顶点分别为A,B，点，连接交椭圆C于点MN，为直角三角形，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于DE两点，若，求证：直线l过定点【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意知，求出，再由求出，即可求出椭圆的标准方程；（2）设，设的方程为，联立椭圆方程消元后得到韦达定理，由代入求出，即可求出直线恒过的定点.【小问1详解】解：因为为直角三角形，所以由椭圆的对称性知，即，所以，则，代，得，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】证明：由题意，可设直线的方程为，联立消去x得，设，则因为，所以，由（1）知，所以，则，将代入上式得，将代入上式，解得，或（舍），故直线l恒过点18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点 （1）证明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，【解析】【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可.【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点， ，四边形是平行四边形，又平面平面平面 （2），平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而， 以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，为棱的中点， （i），设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为， ，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，设，则， 由（2）知平面的一个法向量为，点Q到平面的距离是， 19. 已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于.（1）若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：；（2）求证：为定值；（3）求最小值.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）设,，可得PQ，结合两点间距离公式求，即可分析证明；（2）设，,，联立方程可得韦达定理，结合数量积坐标可得为定值；（3）根据题意求得，整理可得，由此能求出的最小值【小问1详解】点是抛物线上任意一点，设,，抛物线的准线方程为点在直线上的射影为，【小问2详解】由题设知直线的斜率一定存在，设，由，得，设,，则，,，,，故为定值【小问3详解】因为,，直线，直线，都在直线上，当时，取最小值【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.