单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,中值定理,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,的某个邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于,x,0,的,x,值,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,或,f,(,x,),f,(,x,0,),则称函数,f,(,x,),在点,x,0,处取得极大值,(,极小值,),f,(,x,0,),而,x,0,称为函数,f,(,x,),的极大点,(,或极小点,),函数极值的概念,极大值和极小值统称为函数的极值,.,极大点和极小点统称为函数的极值点,.,1中值定理设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域有,费马,(Fermat),定理,如果,x,0,是,函数,f,(,x,),的极值点,并且,f,(,x,),在该点可导,则,f,(,x,0,),0,(,逆命题不一定成立,),例如,函数,y=x,2,+1,x=0,是,y,的极值点,且,f(x)=2x,f(0)=0,例如,函数,y=x,3,f(x)=3x,2,f(0)=0,但,x=0,不是,y,的极值点,函数驻点的概念,使导数,f(x),为零的点称为,f(x),的驻点或稳定点,可导的极值点是驻点,但驻点不一定是极值点,.,费马(Fermat)定理例如,函数y=x2+1,x=0是y的,拉格朗日中值定理,拉格朗日,(Lagrange),中值定理,如果函数,y,f,(,x,),满足,(1),在闭区间,a,b,上连续,;,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,那么在,(,a,b,),内,至少存在一点,x,使得,f,(,b,),-,f,(,a,)=,f,(,x,),(,b,-,a,),拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日中值定理,拉格朗日,(Lagrange),中值定理,如果函数,y,f,(,x,),满足,(1),在闭区间,a,b,上连续,;,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,那么在,(,a,b,),内,至少存在一点,x,使得,f,(,b,),-,f,(,a,)=,f,(,x,),(,b,-,a,),拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日中值定理,拉格朗日,(Lagrange),中值定理,如果函数,y,f,(,x,),满足,(1),在闭区间,a,b,上连续,;,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,那么在,(,a,b,),内,至少存在一点,x,使得,f,(,b,),-,f,(,a,)=,f,(,x,),(,b,-,a,),拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理,在区间,I,上任取两点,x,1,x,2,(,x,1,x,2,),应用拉格朗日中值定理,在,(,x,1,x,2,),内至少,存在一点,x,使,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,)(,x,2,x,1,)(,x,1,x,0,f,(,x,),0 f(x)0,（或,f,(x)0,),则函数,f(x),在该区间内单调增加（或单调减少）,定理 设函数f(x)在(a,b)内可导，则该函数在区间,用导数求函数单调区间的方法,求驻点，将区间分解为几个子区间,对每一个子区间判定函数导数的正、负性，得到函数在该子区间的单调性。,例：求函数,f(x)=(x-1),2,-4,的单调区间。,解：函数的定义域为（,-,，,+,），,由,f,(x)=2(x-1)(x-1),=2x-2=0,可得驻点,=1,当,x1,时，,f(x)1,时，,f(x)0.,所以函数,f(x),在,（,-,，,1,）上单调减少，在（,1,，,+,）上单调增加。,用导数求函数单调区间的方法 例：求函数f(x),提问：,f,(,a,),和,f,(,b,),是极值吗？,函数的极值,函数的极值及其求法,设函数,f,(,x,),在点,x,0,的某邻域,U,(,x,0,),内有定义,如果对于任意,x,U,(,x,0,),有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,或,f,(,x,),f,(,x,0,),则称,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个极大值,(,或极小值,),。,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点,.,观察与思考：,观察极值与切线的关系,.,提问：函数的极值函数的极值及其求法 设函数f(,设函数,f,(,x,),在点,x,0,处可导,且在,x,0,处取得极值,那么,f,(,x,0,),0,.,驻点,使导数,f,(,x,),为零的点,(,方程,f,(,x,),0,的实根,),称为函数,f,(,x,),的驻点,.,定理,观察与思考：,观察曲线的升降与极值之间的关系,.,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取,设函数,f,(,x,),在,x,0,处连续,且在,(,a,x,0,),(,x,0,b,),内可导,(1),如果在,(,a,x,0,),内,f,(,x,),0,在,(,x,0,b,),内,f,(,x,),0,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极大值,(2),如果在,(,a,x,0,),内,f,(,x,),0,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极小值,(3),如果在,(,a,x,0,),及,(,x,0,b,),内,f,(,x,),的符号相同,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处没有极值,判别法则,I(,第一充分条件,),x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,设函数f(x)在x0处连续 且在(a x,确定极值点和极值的步骤,(1),求出导数,f,(,x,),;,(2),求出,f,(,x,),的全部驻点和不可导点,;,(3),考察在每个驻点和不可导点的左右邻近,f,(,x,),的符号,;,(4),确定出函数的所有极值点和极值,.,判别法则,I(,第一充分条件,),设函数,f,(,x,),在,x,0,处连续,且在,(,a,x,0,),(,x,0,b,),内可导,(1),如果在,(,a,x,0,),内,f,(,x,),0,在,(,x,0,b,),内,f,(,x,),0,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极大值,(2),如果在,(,a,x,0,),内,f,(,x,),0,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极小值,(3),如果在,(,a,x,0,),及,(,x,0,b,),内,f,(,x,),的符号相同,那么函数,f,(,x,),在,x,0,处没有极值,确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f(,导数的应用问题课件,判别式,II(,第二充分条件,),设函数,f,(,x,),在点,x,0,处具有二阶导数且,f,(,x,0,),0,f,(,x,0,),0,那么,(1),当,f,(,x,0,),0,时,函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极大值,(2),当,f,(,x,0,),0,时,函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极小值,.,应注意的问题：,如果,f,(,x,0,),0,f,(,x,0,),0,则定理,3,不能应用,但不能由此说明,f,(,x,0,),不是,f,(,x,),的,极值,.,讨论：,函数,g,(,x,),x,3,在点,x,0,是否有极值？,判别式II(第二充分条件)设函数f(x)在点,导数的应用问题课件,最大值最小值问题,观察与思考：,观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点,怎样求函数的最大值和最小值,.,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,M,m,最大值最小值问题 观察与思考：x1x2x3x4x5Mm,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,M,m,闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得,.,函数在闭区间,a,b,上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者,;,其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者,极值与最值的关系,x1x2x3x4x5Mm 闭区间上的连续函数其,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,M,m,最大值和最小值的求法,(1),求出函数,f,(,x,),在,(,a,b,),内的驻点和不可导点,设这此点,为,x,1,x,2,x,n,;,(2),计算函数值,f,(,a,),f,(,x,1,),f,(,x,n,),f,(,b,),;,(3),判断,:,最大者是函数,f,(,x,),在,a,b,上的最大值,最小者是函数,f,(,x,),在,a,b,上的最小值,x1x2x3x4x5Mm最大值和最小值的求法,极值,VS,最大值、最小值,(1),极值是局部性的概念，函数在其定义域范围之内可以有多个极大值或极小值,;,(2),最大值和最小值是全局性概念，函数在其定义域范围内只有一个最大值和一个最小值。,极值VS最大值、最小值,例,求函数,f,(,x,),|,x,2,3,x,2|,在,3,4,上的最大值与最小值,解,比较可得,f,(,3),20,是,f,(,x,),在,3,4,上的最大值,f,(1),f,(2),0,是,f,(,x,),在,3,4,上的最小值,例 求函数f(x)|x23x2|在,特殊情况下的最大值与最小值,如果,f,(,x,),在一个区间,(,有限或无限,开或闭,),内可导且只有一个驻点,x,0,那么,当,f,(,x,0,),是极大值时,f,(,x,0,),就是,f,(,x,),在该区间上的最大值,当,f,(,x,0,),是极小值时,f,(,x,0,),就是,f,(,x,),在该区间上的最小值,特殊情况下的最大值与最小值,Thank you,Thank you,