单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,灰色系统模型,研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能，协调功能以及系统各因素之间的关联关系，因果关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。系统模型的建立，一般要经过思想开发，因素分析，量化，动态化，优化五个步骤。即语言模型，网络模型，量化模型，动态模型，优化模型。,在建模过程中，要不断的将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往返，使整个模型逐步趋于完善。,1.GM(1,1),模型,G,表示,grey,（灰色），,M,表示,model,（模型），,GM,（,1,，,1,）表示,1,阶的、,1,个变量的模型。,定义,1.1,设,则称,为,GM(1,1),模型的原始形式，其中 为待定参数。,设,其中,则称 为,GM(1,1),模型的基本形式。,定理,1.1,设有非负序列：,为 的,1-AGO,（即一次累加）序列：,其中 ；为 的紧邻均,值生成序列：,其中,若 为参数列，,且,则,GM(1,1),模型 的最小二乘估,计参数列满足,定义,1.2,设 为非负序列，为 的,1-AGO,（即一次累加）序列，为 的紧邻均值生成序列，则称微分方程,为（，）模型（灰色方程）的,白化方程，也叫影子方程。,定理,.2,设 如定理,1.1,中所述，,其中,则,.,白化方程 的解（也称时间,响应函数）为,.GM(1,1),模型 的时间响应序列为,.,还原值,2.,灰色系统预测模型的精度检验,预测就是借助于过去的探讨去推测、了解未来。灰色预测就是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统未来状态做出科学定量预测。,定义,2.1,设原始数据序列,相应的预测模型模拟序列,:,残差序列,:,相对误差序列,:,则,1.,对于 ，称，为 点的模拟相,对误差，称 为平均相对误差。,2.,称 为平均相对精度，为 点的模拟精度。,3.,给定 ，当 成立时，称模型为残差合格模型,定义,2.2,设 为原始序列，为相应的模拟序列，为 与 的绝对关联度，若对于给定的 ，有 ，则称模型为关联度合格模型。,定义,2.3,设 为原始序列，为相应的模拟序列，为 与 的残差序列，则,分别为 的均值、方差；,分别为残差的均值、方差。,1.,称为均方差比值，对于给定,的,当 时，称模型为均方差比合格模型。,2.,称为小误差概率，对,于给定的,当 ，称模型为小误差概率合格模型。,精度检验等级参照表,指标精度,等级,相对误差,关联度,均方差比值,小误差概率,一级,0.01,0.90,0.35,0.95,二级,0.05,0.80,0.50,0.80,三级,0.10,0.70,0.65,0.70,四级,0.20,0.60,0.80,0.60,3.,数列预测,数列预测是对系统变量的未来行为进行预测，灰色系统基本模型,GM,（,1,，,1,）是较常用的数列预测模型。根据实际情况，也可以考虑采用其他灰色模型，在定性分析的基础上，定义适当的算子，对算子作用后的序列建立,GM,模型，通过精度检验后，即可用于预测。,例,1,河南省长葛县乡镇企业产值（数据来源于长葛县统计局）。,解：由统计资料查得产值序列为,引入二阶弱化算子 ，令,其中,以及,其中,于是,X,的,1-AGO,序列为,设,按最小二乘法求得参数的 估计值为,得,GM,（,1,，,1,）模型白化方程,其时间响应式为,得模拟序列,残差序列,相对误差序列,平均相对误差,模拟误差 ，精度为一级。,计算 的灰色绝对关联度 ：,从而,关联度为一级,计算均方差比,所以,均方差比值为一级。,计算小误差概率：,所以,小误差概率,为一级，故可用,故可用,进行预测。这里给出,5,个预测值,4.,作业,某大型企业,1997-2000,年四年产值资料,试建立,Gm(1,1),模型的白化方程及时间响应式，并对,Gm(1,1),模型进行检验，预测该企业,2001-2005,年产值。,年份,1997,1998,199,2000,产值（万元）,27260,29547,32411,35388,