,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,3.1-3.3,：一维单原子链色散关系推导,色散关系：,：力常数,a,：晶格常数,从运动方程导出色散关系：,1,、如何写出,U,?,2,、如何解方程,?,3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导色散关系：力常数,1,3.1-3.3,：一维单原子链色散关系推导,一、推导,U,晶体的总势能：,Taylor,展开：,1,、简谐近似,3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导一、推导U晶体的总势,2,3.1-3.3,：一维单原子链色散关系推导,一、推导,U,2,、最近邻近似,n,n+1,n+2,n-1,n-2,n,n+1,n+2,n-1,n-2,a,a,：力常数,只考虑最近邻原子间的相互作用：,3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导一、推导U2、最近邻,3,3.1-3.3,：一维单原子链色散关系推导,二、求解运动方程,第,n,个原子间受到的作用力：,),2,(,1,1,n,n,n,n,n,U,F,m,m,m,b,m,-,+,=,-,=,-,+,第,n,个原子的运动方程：,尝试解,可写为：,1,、提出尝试解,(,x=na,),3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导二、求解运动方程第n,4,3.1-3.3,：一维单原子链色散关系推导,二、求解运动方程,2,、求解色散关系,第,n,个原子的运动方程：,解,格波方程,解得,色散关系,3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导二、求解运动方程2、,5,3.3,其他内容,二、通过画色散关系图谱，发现格波周期性与布里渊区的关系,色散关系,布里渊区,0,q,(,q,),3.3 其他内容二、通过画色散关系图谱，发现格波周期性与布里,6,3.3,其他内容,三、推导,(q),，为以后的推导埋下伏笔,q,的分布密度：,一维：,注意与电子气模型里面的,(k),类比。,四、在简正坐标下得到声子概念,为什么要用简正坐标？,为了方便！,3.3 其他内容三、推导(q)，为以后的推导埋下伏笔q的分,7,3.3,其他内容,四、在简正坐标下得到声子概念,3.3 其他内容四、在简正坐标下得到声子概念,8,3.3,其他内容,四、在简正坐标下得到声子概念,简正坐标下的结果是（,P90,91,）：,如何引入简正坐标？,线性变换系数正交条件：,为什么说上面是简正坐标呢（,88,，,89,）？,3.3 其他内容四、在简正坐标下得到声子概念简正坐标下的结果,9,3.3,其他内容,四、在简正坐标下得到声子概念,如果,Q(q),是简正坐标，那么由书本,3.1,节结论就有：,晶体链的动能：,晶体链的势能：,能量本征值为：,所以格波的能量是分立的，所以说，格波最基本的能量单元，就是声子,3.3 其他内容四、在简正坐标下得到声子概念如果Q(q)是简,10,3.4,一维双原子链,一、推导,色散关系,3.4 一维双原子链一、推导色散关系,11,3.4,一维双原子链,一、推导,色散关系,3.4 一维双原子链一、推导色散关系,12,3.4,一维双原子链,二、色散关系的相关讨论,（,1,）色散曲线,3.4 一维双原子链二、色散关系的相关讨论（1）色散曲线,13,3.4,一维双原子链,二、色散关系的相关讨论,（,2,）光学支以及声学支中原子相对运动规律,3.4 一维双原子链二、色散关系的相关讨论（2）光学支以及声,14,3.4,一维双原子链,二、色散关系的相关讨论,（,2,）光学支以及声学支中原子相对运动规律,3.4 一维双原子链二、色散关系的相关讨论（2）光学支以及声,15,3.4,一维双原子链,二、色散关系的相关讨论,（,2,）光学支以及声学支中原子相对运动规律,3.4 一维双原子链二、色散关系的相关讨论（2）光学支以及声,16,3.4,一维双原子链,二、色散关系的相关讨论,（,2,）光学支以及声学支中原子相对运动规律,3.4 一维双原子链二、色散关系的相关讨论（2）光学支以及声,17,3.5,三维晶格振动,略。但是需要清楚：,简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个,q,的取值 对应于三个声学波（,1,个纵波，,2,个横波）,晶格振动格波的总数,3,N,晶体的自由度数,复式晶格：若每个原胞中有,s,个原子，每一个,q,的取值 对应于,3,个声学波和,3(s-1),个光学波,晶格振动格波的总数,3,3(s-1),N,=3s,N,=,晶体的自由度数,晶格振动波矢的总数晶体的原胞数,晶格振动格波的总数晶体的自由度数,提供思路：声学波是晶格的集体振荡，由于三维来说，集体振荡肯定只有,3,个,方向，显然就是三个声学波；因为是直角坐标系如果选定某一个入射方向，,那么一定要一个波振荡与传播平行，,2,个是垂直，所以,1,个纵、两个横。,3.5 三维晶格振动略。但是需要清楚：简单晶格：每个原胞中只,18,练习,质量分别为,M,和,m,（设,M m,）的两种原子以,a,和,a,/3,相间排成如图所示的一维晶体链，若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为,，,(1),写出每种原子的动力学方程式；,(2),写出格波方程式；,(3),导出色散关系式。,答：若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，第,n,对大小原子的运动方程为：,（,1,）,（,2,）,取格波方程式为：,练习质量分别为M和m（设M m）的两种原子以a和a/3相,19,练习,上式中，已将固定相位因子,将位移方程代入式（,1,）中，得到；,（,3,）,（,4,）,由上式解得色散关系为：,（,6,）,整理得：,因振幅,A,和,B,不会为零，所以其系数行列式必定为零，即：,（,5,）,练习上式中，已将固定相位因子将位移方程代入式（1）中，得到；,20,3.6,离子晶体中的长光学支,(,黄昆方程,),首先明确，由于声学支就是晶格的整体振动，可以用宏观理论,研究，很简单。但是，长光学波研究就相对困难，因此有了黄昆方程,一、黄昆方程是什么以及其系数推导。,推导的方法是用极限法，选取,为,0,以及无穷这两个极端情况下，给出的求解。,黄昆方程,第一个方程：决定离子相对振动的动力学方程,第二个方程：极化方程,：宏观极化强度；,：宏观极化电场,3.6 离子晶体中的长光学支(黄昆方程)首先明确，由于声学支,21,3.6,离子晶体中的长光学支,(,黄昆方程,),首先明确，由于声学支就是晶格的整体振动，可以用宏观理论,研究，很简单。但是，长光学波研究就相对困难，因此有了黄昆方程,一、黄昆方程是什么以及其系数推导。,推导的方法是用极限法，选取,为,0,以及无穷这两个极端情况下，给出的求解。,0,：横长光学波的频率,静电场情况：,0,高频电场情况：,3.6 离子晶体中的长光学支(黄昆方程)首先明确，由于声学支,22,3.6,离子晶体中的长光学支,(,黄昆方程,),二、长光学支的横波和纵波关系,推导的方法是对方程取旋度和散度来求解,LST,关系,三、长光学支的原子理论,用来证明黄昆方程,对于,b,12,=,b,21,有强大怨念的同学，大可不必那么纠结，看看,这部分推导，发现确实可以证明。,3.6 离子晶体中的长光学支(黄昆方程)二、长光学支的横波和,23,3.7,晶格热容,一、基本思路,E,本征值,求,引入,配分函数,令,=1/,（,k,B,T,）,原因：确定了,Z,之后，则系统的内能,U,确定,3.7 晶格热容一、基本思路E本征值求引入配分函数令=,24,3.7,晶格热容,一、基本思路,在一定温度下，晶格振动的总能量为：,晶体的零点能,与温度有关的能量,3.7 晶格热容一、基本思路在一定温度下，晶格振动的总能量为,25,3.7,晶格热容,二、,Einstein,模型,假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率,0,振动。,即：,在一定温度下，由,N,个原子组成的晶体的总振动能为：,3.7 晶格热容二、Einstein模型 假设：,26,3.7,晶格热容,二、,Einstein,模型,定义,Einstein,温度：,高温下：,T,E,在低温下：,T,D,，即,在低温下：,T D,32,3.7,晶格热容,四、模式密度,在,q,空间中，处在,d,两等频面之间的振动模式数（,只考虑其中第,j,支格波,）为,由于,3.7 晶格热容四、模式密度在q空间中，处在d两等,33,练习,例：由,N,个原子组成的二维,(,面积为,S,),简单晶格晶体，设格波的平均传播速,度为,c,，应用,Debye,模型分别计算：,(1),晶格振动的模式密度,g,(,),；,(2),截止频率,m,；,(3)Debye,温度,D,；,(4),晶格的零点能,E,0,(,用,N,和,m,表示,),。,练习例：由N个原子组成的二维(面积为S)简单晶格晶体，设格波,34,3.8,非简谐效应,没有热膨胀,力常数不依赖于温度和压力,高温时热容量是常数,声子间不存在相互作用，声子的平均自由程和寿命都是无限的。或说：两个格波之间不发生相互作用，单个波不衰减或不随时间改变形式,完美简谐晶体的热导是无限大的,简谐近似的局限性：,1,）热膨胀；,2,）声子相互作用对于自由程的影响,先介绍一下晶格的状态方程,3.8 非简谐效应没有热膨胀简谐近似的局限性：1）热膨胀；2,35,3.8,非简谐效应,一、晶格的状态方程,有,dF,=,dU,-,d,(,TS,)=,pdV,SdT,状态方程：,f,(,p,V,T,)=0,自由能的定义：,F,=,U,TS,热力学第一定律：,dU,=,TdS,pdV,3.8 非简谐效应一、晶格的状态方程 有 dF=dU,36,由统计物理可知，,F,2,=,k,B,T,ln,Z,晶格自由能,F,=,F,1,+,F,2,F,1,=,U,(,V,),只与晶体的体积有关，而与温度（或晶格 振动）无关，,U,(,V,),实际上是,T=0,时晶体的内能。,F,2,与晶格振动有关，即与温度有关。,Z,是晶格振动的配分函数,3.8,非简谐效应,一、晶格的状态方程,由统计物理可知，F2=kBTlnZ晶格自由能 F=F1,37,3.8,非简谐效应,一、晶格的状态方程,晶格自由能为：,其中,3.8 非简谐效应一、晶格的状态方程晶格自由能为：其中,38,是表征频率随体积变化的量，假定与,j,无关。,晶格状态方程：,Gr,neisen const.,与晶格振动的非简谐性有关,Gr,neisen,假定：,3.8,非简谐效应,一、晶格的状态方程,是表征频率随体积变化的量，假定与j无关。晶格,39,晶格状态方程：,3.8,非简谐效应,二、热膨胀,热膨胀指的是在不加压的情况下，晶体体积随温度升高而增大的现象。,令,p,=0,，有：,晶格状态方程：3.8 非简谐效应二、热膨胀热膨胀指的是在不加,40,3.8,非简谐效应,二、热膨胀,平衡时：,令,p,=0,，有：,为静止晶格的压缩模量,3.8 非简谐效应二、热膨胀平衡时：令p=0，有：为静止,41,3.8,非简谐效应,二、热膨胀,当温度变化时，对下式温度求微商,对许多固体材料的测量结果证实了,Gr,neisen,定律，,的值一般在,12,之间。,Gr,neisen,定律,可得,体积热胀系数,下面将证明,是由非简谐近似带来的。,3.8 非简谐效应二、热膨胀当温度变化时，对下式温度求微商对,42,3.8,非简谐效应,二、热膨胀,3.8 非简谐效应二、热膨胀,43,3.8,非简谐效应,二、热膨胀,3.8 非简谐效应二、热膨胀,44,3.8,非简谐效应,三、声子相互作用对于声子平均自由程的影响,（,1,）声子碰撞对于自由程的影响,声子间的相互碰撞必须满足,能量守恒和准动量守恒,。以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过程为例：,，,正规过程，或,N,过程（,Normal Processes,）,N,过程只改变动量的分布，而不改变热流的方向，不影响声子的平均自由程，这种过程不产生热阻。,3.8 非简谐效应三、声子相互作用对于声子平均自由程的影响（,45,3.8,非简谐效应,三、声子相互作用对于声子平均自由程的影响,（,1,）声子碰撞对于自由程的影