人民教育出版社义务教育教科书八年级数学上册,第十一章 三角形,11.2,与三角形有关的角,11.2.1,三角形的内角,三角形两边的夹角叫做三角形的内角,三角形的内角,红色的大三角形对蓝色的小三角形说：“我比你大，所以我的内角和确定比你大。”,小三角形不服气地说：“不对不对，我的内角和和你的一样大！”,三角形兄弟之争,三角形的三个内角和是多少,?,把三个角拼在一起试试看？,你有什么方法可以验证呢?,从刚刚拼角的过程你能想出证明的方法吗?,180,实践操作,F,2,1,E,C,B,A,三角形的内角和等于,180,0,.,过,A,作,EFBC,，,B=2,(,两直线平行,内错角相等,),C=1,(,两直线平行,内错角相等,),2+1+BAC=180,B+C+BAC=180,证法一,2,1,E,D,C,B,A,三角形的内角和等于,180,0,.,延长,BC,到,D,，,过,C,作,CEBA,，,A=1,(,两直线平行，内错角相等,),B=2,(,两直线平行，同位角相等,),1+2+ACB=180,A+B+ACB=180,证法二,C,B,E,A,三角形的内角和等于,180,0,.,过,A,作,AEBC,，,B=BAE,(,两直线平行,内错角相等,),EAB+BAC+C=180,(,两直线平行,同旁内角互补,),B+C+BAC=180,证法三,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做帮助线。在平面几何里，帮助线通常画成虚线。,为了证明三个角的和为,180,0,转化为一个平角或同旁内角互补,这种,转化思想,是数学中的常用方法,.,思路总结,(口答)以下各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?,260，40，90,330，60，50,13，150，27,是,不是,不是,稳固练习,1在ABC中，A=35，B=43,则 C=.,2在ABC中，A:B:C=2:3:4,则A=B=C=.,3一个三角形中最多有 个直角？为什么？,4一个三角形中最多有 个钝角？为什么？,5一个三角形中至少有 个锐角？为什么？,6任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .,102,80,60,40,60,2,1,1,应用新知,A,B,C,在直角三角形,ABC,中,C,90,，由三角形内角和定理，得,A,+,B+,C=180,即,A,+B+,90=180,，,所以,A,+B=90.,例题讲解,1,也就是说，,直角三角形的两个锐角互余,.,由三角形内角和定理可得：,有两个角互余的三角形是直角三角形。,直角三角形可以用符号“,Rt,”,表示，直角三角形,ABC,也可以写成,RtABC,.,A,B,C,ABC中,ABCC=2A,BD是AC边上的高，求DBC的度数。,D,解：设,A,x,0,，则,ABC,C,2x,0,x,2x,2x,180,三角形内角和定理,解得,x,36,C,236,0,72,0,DBC1800900720三角形内角和定理,在BDC中，BDC900,(三角形高的定义,DBC,18,0,?,例题讲解,2,如图,C,岛在,A,岛的北偏东,50,方向，,B,岛在,A,岛的北偏东,80,方向，,C,岛在,B,岛的北偏西,40,方向。求下面各题,.,1DAC_ DAB_ EBC_ CAB _,A,(2),从,C,岛看,A,、,B,两岛的视角,C,是多少,?,50,80,40,D,B,C,E,北,北,解：,ADBE,DABABE,180,ABE,180,DAB,180,80,100,在,ABC,中,C,180,CAB,ABC,180,30,60,90,ABC,ABECBE,30,10040,60,例题讲解,3,D,C,E,北,A,50,B,40,北,M,N,在,AMC,中 ,AMC=90,MAC=50,解：过点,C,画,MNAD,分别交,AD,、,BE,于点,M,、,N,1,2,例,:,如图,C,岛在,A,岛的北偏东,50,方向，,B,岛在,A,岛的北偏东,80,方向，,C,岛在,B,岛的北偏西,40,方向。,1=180-90-50=40,ADBE,AMC+BNC=180,BNC=90,同理得,2=50,ACB=180 -1-2,=180-40-50=90,例题讲解,3,B,D,C,E,北,A,1,2,50,40,解：过点,C,画,CFAD 1,DAC,50,F,CFAD,又,AD BE,CF BE,2,CBE,40,ACB,12,50 40,90,例题讲解,3,稳固练习,A,B,C,D,E,如图，,C=,D=90,，,AD,与,BC,相交于点,E,，,CAE,和,DBE,什么关系。,在RtACE中，CAE=90-AEC,在RtBDE中，DBE=90-BED,AEC=BED对顶角相等,CAE=DBE,3.ABC中,假设ABC,则ABC是(),A、锐角三角形B、直角三角形,C、钝角三角形D、等腰三角形,4.一个三角形至少有 ,A、一个锐角 B、两个锐角,C、一个钝角 D、一个直角,B,B,稳固练习,5.,如图,ABC,中,CD,平分,ACB,DEBC,A,70,ADE,50,求,BDC,的度数,.,A,B,C,D,E,解,:,A,70,ACB=180,-A-B,=180,-70-50,=60,DE/BC,B=ADE,50,CD,平分,ACB,稳固练习,2、在中，假设=B=C，那么是什么三角形？,解,:,设,A=x,那么,B=2x,C=3x,依据题意得:,解得,A=30,B=60,C=90,所以,是直角三角形,拓展与思考1,甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,假设甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？,甲,乙,16,米,45,0,？,45,0,16,米,解,:,由题意知,A,B,C,BC=AB=16,答,:,两楼的距离是,16,米,.,拓展与思考2,小结,1,、三角形的内角和：三角形三个内角之和为,180,2,、由三角形内角和等于,180,，可得出,(1),直角三角形两锐角互余；,(2),一个三角形最多有一个直角或钝角；,(3),任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；,(4),一个三角形中至少有一个角小于或等于,60,复习旧知,一个三角形最多有 直角；,一个三角形最多有 钝角；,一个三角形中，最多有 锐角，最少有 锐角；,一个三角形中至少有一个角,小于或等于 ,一个三角形中最大角至少是 ,11.2.2,三角形的外角,A,B,C,D,三角形的外角：,三角形的,一边,与,另一边的反向延长线,组成的角,A,B,C,D,E,看一看：,算一算：,若,A,55,，,B=60,试求,ACB,ACD,CAE,的度数并说出你的理由,探究？,图中哪些角是三角形的,内角,，,哪些角是三角形的,外角,？,115,60,65,55,125,通过上题的计算，你觉察ACD，CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说一说,想一想：,三角形的一个,外角,等于与它,不相邻,的,两个内角,的和。,结论：,求以下各图中1的度数。,30,60,1,35,120,1,45,50,1,1=,1=,1=,90,85,95,ACD,A (),；,ACD,B (),结论：,三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。,D,A,C,B,你选什么？,把图中1、2、3按由大到小的挨次排列,B,3,2,1,A,C,D,E,1,2,3,A,B,C,1,2,3,方法,1,方法,2,三角形的外角和等于,360,1,2,3,?,从哪些途径探究这个结果,议一议,A,B,C,1,2,3,2,ABC=180,3,ACB=180,三个式子相加得到,1,2,3,BAC,ABC,ACB=540,而,BAC,ABC,ACB=180,1,2,3360,1,BAC=180,解：,解：过,A,作,AD,平行于,BC,3,4,B,C,1,2,3,4,A,2,BAD,1,2,3,1,BAD,4=360,两直线平行，同位角相等,D,推断题：,1、三角形的外角和是指三角形全部外角的和。,2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。,3、三角形的一个外角等于两个内角的和。,4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。,5、三角形的一个外角大于任何一个内角。,6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。,练一练,学一学,例1:如图，D是ABC的BC边上一点，,BBAD，ADC80,BAC=70.,求：1B的度数；,2C的度数.,问：1中为什么ADCB+BAD？,2中求C的度数还有其他方法吗？,A,B,C,D,80,70,40,40,练一练,A,B,C,D,E,F,.,A,D,E,C,F,B,1,2,3,36,0,N,P,M,A,B,C,D,E,(3),求,A+B+C+D+E,的度数,F,G,B+D=EGF,EGF+EFG,+,E,=,180,A+C=EFG,解：因为,所以,A+B+C+D+E=,180,练一练,图中A、B、C分别为80，20，30，求1的度数,B,3,2,1,A,C,D,E,如图，试计算,BOC,的度数,练一练,90,30,20,A,B,C,O,D,110,练一练,如图，在直角,ABC,中，,CD,是斜边,AB,上的高，,BCD,35,，,求,A,与,EBC,的度数,.,A,B,C,D,E,35,小结,1,、,三角形外角的两条性质,三角形的一个外角等于与它不相邻,的两个内角的和。,三角形的一个外角大于任何一个与它,不相邻的内角。,2,、三角形的外角和是,360,