有限元分析,(,FEA),方法,结构力学的研究对象,杆件结构，如桁架、刚架等，杆件的几何特征是长度比横截面尺寸大得多。,弹性力学的研究对象,非杆件结构如扳、壳结构、实体结构等，这些结构的几何特征是它的厚度要比长度和宽度小得多，或长、宽、厚三个尺度大小属于同一量级。,结构力学刚架位移法：,先取基本体系，把刚架拆成多个单元,(,杆件,),，作单元分析，再将杆件组合成整个刚架，建立刚架位移法的基本方程，作整体分析。,在这一分一合、先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题，转化为简单的单元分析和集合问题，这就是有限单元法的雏形。,解析法：,由于数学上的困难，通常只有某些简单向题才能得到解析的解答，而对于多数复杂结构问题，目前还没能得到闭合解。现在，为了求解这些复杂问题，唯一的途径是应用数值法，求得问题的近似解。,数值法分为两类：,第一类,是在解析法的基础上进行数值计算。它的要点是对基本微分方程采用近似的数值解法，如将微分改为差分，建立差分方程，得有限差分法，,第二类,是在力学模型上进行近似的数值计算。它的基本点是将连续体简化为由有限个单元组成的离散化模型，再对离散化模型求出数值解答，对这类方法的代表就是近三十年发展起来的有限单元法。,有限单元法具有如下的优点：,(1),物理概念清晰,有限元法一开始就从力学角度进行简化，使初学者易于入门。,(2),可以在不同的水平上建立起对该法的理解,它可以从通俗易懂的结构力学方法出发，阐述其基本原理和公式推导，也可以利用变分原理为该法建立起严格的数学解释。,(3),有较强的灵活性与适用性,它不仅能处理力学分析中的复杂的几何形状，任意的边界条件，非均质各向异性材料，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构件，非线性应力,应变关系，还能用来求解流体力学、热传导以及电磁场等领域的许多问题。目前，它几乎适用于求解所有的连续介质和场的问题。,(4),采用矩阵表达形式,便于编制计算机程序，能充分利用高速电子计算机这个现代化工具。,因此，有限元法已被公认为力学分析中的新颖而又有效的数值方法。,有限单元法的发展历史,有限单元法最初是在五十年代作为处理固体力学问题的方法出现的。,追溯历史，早在一九四三年，库兰特,(courant),已应用了“单元”概念。在一九五六年，特纳,(Turner),等人把刚架位移法的解题思路，推广应用于弹性力学平面问题。他们把连续体划分成一个个三角形的和矩形的单元，单元中位移函数首先采用了近似表达式，推导了单元刚度矩阵，建立了单元结点位移与结点力之间的单元刚度方程。,近几十年来，随着电子计算机的高速化和普遍化，有限元继续不断地向更加广阔、更加深入的方面发展。,有限单元法的发展借助于两个重要工具，在理论推导方面，采用了矩阵方法，在实际计算中，采用了电子计算机。有限元、矩阵、计算机是三位一体的。由于有了现代化的、先进的计算工具，使得有限单元法近年来以惊人的速度骤然崛起。,有限单元法的应用,有限单元法在应用上已远远超过了原来的范围。它已由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题，能对原子能反应堆、拱坝、飞机、船体、涡轮叶片等复杂结构进行应力分析；它已出平衡问题扩展到稳定问题与动力问题，由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题，由结构的应力分析扩展到结构的优化设计。除此，它在流体力学、热传导、磁场、建筑声学、,生物力学等等方面部有不同程度的应用。,用有限单元法解弹性力学问题，初学者并不需要掌握弹性力学的全部理论，但对其中的某些基本概念和基本方程却要有所了解。为此，本节将对这些概念和方程作简要的介绍，作为下面各章介绍弹性力学有限单元法的导引。,弹性力学的基本假定,弹性力学在处理问题方面比材料力学更广泛、但弹性力学仍必须作一些基本的假设；,（,1,）假设物体是线性弹性的,即物体在引起形变的外力被除去以后，能够完全恢复其原来的形状，这种性质称为“弹性”。如果材料又服从虎克定律，即外力与变形之间的关系成正比，这种弹性就叫做“线性弹性”。在这一假定下的物体只能发生线性弹性变形。,（,2,）假设物体是连续的,这假设认为整个物体的体积都被组成这个物体的物质所填满，而不留下任何空隙。这样物体中应力、应变和位移等等物理量就可看成是连续的，因而我们就可用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。,（,3,）假设物体是均匀的，各向同性的,均匀假设是认为整个物体是由同一种材料组成的，在这种情况下物体内部各点的物理性质都是相同的，反映这些物理性质的弹性常数，加弹性模量、泊松比等都不随位置坐标而变化。因此，我们可以取出物体中的任意一小部分来加以研究，然后把研究的结果用于整个物体。物体各向同性的假设是认为物体的弹性在所有各个方向都相同，各个弹性常数不随方向而变化。,（,4,）假设物体的位移和应变是微小的,该假设认为物体在外力作用下，整个物体所有各点的位移都远远小于物体的原来尺寸。经过这样假定以后，有以下好处,1,）在考察物体的应变和位移时，我们可以将它们的二次幂或乘积略去不计。因此弹性力学中的微分方程都可简化为线性的微分方程，由此得小位移可以应用迭加原理。,2,）建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形以前的尺寸代替变形以后的尺寸，而不致引起显著的误差。,有限元分析,(,FEA),有限元分析,是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。,定义,物理系统举例,几何体,载荷,物理系统,结构,热,电磁,有限元模型,真实系统,有限元模型,有限元模型,是真实系统理想化的数学抽象,。,定义,自由度（,DOFs,）,自由度,(,DOFs),用于描述一个物理场的响应特性,。,结构,DOFs,结构 位移,热,温度,电 电位,流体 压力,磁 磁位,方向 自由度,ROTZ,UY,ROTY,UX,ROTX,UZ,节点和单元,节点,:,空间中的坐标位置，具有一定自由度和,存在相互,物理作用,。,单元,:,一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵,),。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。,有限元模型由一些简单形状的,单元,组成，单元之间通过,节点,连接，并承受一定,载荷,。,载荷,载荷,节点和单元(续,),每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。,作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。,尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的,ANSYS,分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。,历史典故,ANSYS,最早是在1970年发布的，运行在价格为一百万美元,、,由,IBM,生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的,PC,机。一台奔腾,PC,机在几分钟内可求解50005000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。,节点和单元(续,),信息是通过单元之间的公共节点传递的。,分离但节点重叠的单元,A,和,B,之间没有信息传递,（需进行节点合并处理）,具有公共节点的单元,之间存在信息传递,.,.,.,A,B,.,.,.,.,.,.,.,.,A,B,.,.,.,1,node,2,nodes,节点和单元(续,),节点自由度是随连接该节点,单元类型,变化的。,J,I,I,J,J,K,L,I,L,K,I,P,O,M,N,K,J,I,L,三维杆单元,(铰接,),UX,UY,UZ,三维梁单元,二维或轴对称实体单元,UX,UY,三维四边形壳单元,UX,UY,UZ,三维实体热单元,TEMP,J,P,O,M,N,K,J,I,L,三维实体结构单元,ROTX,ROTY,ROTZ,ROTX,ROTY,ROTZ,UX,UY,UZ,UX,UY,UZ,单元形函数,FEA,仅仅求解节点处的,DOF,值。,单元,形函数,是一种数学函数，规定了从节点,DOF,值到单元内所有点处,DOF,值的计算方法。,因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。,单元形函数描述的是给定单元的一种,假定,的特性。,单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。,真实的二次曲线,.,节点,单元,二次曲线的线性近,(,不理想结果),.,2,单元形函数,(,续),节点,单元,DOF,值二次分布,.,.,1,节点,单元,线性近似,(,更理想的结果),真实的二次曲线,.,.,.,.,.,3,节点,单元,二次近似(接近于真实的二次近似拟合,),(,最理想结果),.,.,4,单元形函数,(,续),遵循:,DOF,值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。,这些平均意义上的典型解是从单元,DOFs,推导,出来的（如，结构应力，热梯度）。,如果单元形函数不能精确描述单元内部的,DOFs,，,就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。,单元形函数,(,续),遵循原则:,当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并,接受,该种单元类型所假定的单元形函数。,在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有,足够,数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。,加载,在关键点处约束,实体模型,沿线均布的压力,在关键点加集中力,在节点处约束,FEA,模型,沿单元边界均布的压力,在节点加集中力,结 束,