单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一章 无穷级数,一、常数项级数,二、幂级数,三、傅立叶级数,第十一章 无穷级数一、常数项级数二、幂级数 三、傅立叶级数,1,引言,无穷级数是用来表示函数、研究函数的,性质以及进行数值计算的一种工具.,本章讨论常数项级数，介绍无穷级数的,一些性质；讨论函数项级数，着重介绍如何,将函数展开成幂级数与三角级数的问题.,引言无穷级数是用来表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的,2,第一节 常数项级数的概念,一、常数项级数的概念,二、收敛级数的性质,第一节 常数项级数的概念一、常数项级数的概念二、收敛级数的,3,一、常数项级数的概念,引例,：,一个人向距他一米远的目标走去,如果每次前进该距离的一半路程.记录他,走过的路程之和,问他在有生之年能够到,达目标吗？,第,n,步,第,3,步,第,1,步,不可能达到,谬论,？,所走路程之和为：,一、常数项级数的概念引例：一个人向距他一米远的目标走去,如,4,1.级数的定义,称为,(常数项)无穷级数,，简称(常数项),级数,，,由数列,构成的表达式,记为,其中第,n,项,u,n,称为,一般项,.,例如,1.级数的定义称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，,5,常数项级数举例,常数项级数举例,6,级数的,部分和,部分和数列,例如,级数的部分和部分和数列例如,7,2,.级数的收敛与发散:,如果,没有极限,则称无穷级数,发散,.,即,定义,的部分和数列,有极限,如果,则称无穷级数,收敛,常数项级数收敛,(发散),这时极限,叫做,级数的和,.并写成,存在,(不存在),2.级数的收敛与发散:如果没有极限,则称无穷级数发散.即,8,常数项级数收敛,(发散),存在,(不存在),引例中,收敛,和为1.,故,常数项级数收敛(发散)存在(不存在)引例中收敛,和为1.故,9,发散.,故级数发散.,s,n,极限不存在,又例如,为奇数时，,为偶数时，,发散.故级数发散.sn极限不存在,又例如为奇数时，为偶数时，,10,解,例1,的收敛性.,讨论等比级数(几何级数),解例1的收敛性.讨论等比级数(几何级数),11,级数,发散.,级数,发散.,因此,级数,发散,级数,收敛,级数发散.级数发散.因此 级数发散 级数收敛,12,已知级数为等比级数，,问级数,的敛散性.,已知级数为等比级数，问级数的敛散性.,13,无穷级数收敛性举例：,Koch雪花,做法：先给定一个正三角形,然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,分形,无穷级数收敛性举例：Koch雪花 做法：先给定一个正三角形,14,观察雪花分形过程,作分形,观察雪花分形过程作分形,15,观察雪花分形过程,第一次分叉：,观察雪花分形过程第一次分叉：,16,观察雪花分形过程,第二次分叉：,观察雪花分形过程第二次分叉：,17,观察雪花分形过程,第三次分叉：,观察雪花分形过程第三次分叉：,18,观察雪花分形过程,第四次分叉：,观察雪花分形过程第四次分叉：,19,依次类推,观察雪花分形过程,第五次分叉：,依次类推观察雪花分形过程第五次分叉：,20,周长为,面积为,第,n,次分叉：,周长为面积为第n次分叉：,21,于是有,结论：雪花的周长是无限的,而面积有限.,雪花的面积存在极限（收敛）,发散,于是有结论：雪花的周长是无限的,而面积有限.雪花的面积存在极,22,例2,判别级数 的敛散性:,解,所以级数发散.,技巧:,利用,“,拆项相消,”求和,例2 判别级数 的敛散,23,解,例3,的收敛性.,“,拆项相消,”求和,判别无穷级数,解例3 的收敛性.“拆项相消”求和判别无穷级数,24,第十一章-无穷级数课件,25,二、收敛级数的基本性质,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,则级数,收敛,其和为,线性性,性质1,如果级数,收敛,则,亦收敛,.,性质2,设两收敛级数,二、收敛级数的基本性质 级数的每一项同乘一个不为零的常数,26,解,例4,求级数,的和.,由线性性质,解例4 求级数的和.由线性性质,27,第十一章-无穷级数课件,28,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质3,若级数,收敛,则,也收敛,且其逆亦真.,证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数,29,证明,性质4,收敛级数加括弧后所成的级数,仍然收敛于原来的和.,证明性质4 收敛级数加括弧后所成的级数,30,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,推论,如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.,注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛 发散推论,31,证明,设,性质,5,（级数收敛的必要条件）,若级数 收敛，则,证明 设性质5（级数收敛的必要条件）若级数,32,注意,1,.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,故级数,发散.,2,.一般项趋于零,则级数不一定收敛.,必要条件的逆否命题,逆命题,注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;故级数发散.,33,讨论,讨论,34,级数收敛的必要条件的应用,级数,收敛,级数,发散,（,判定级数发散的方法,）,级数收敛的必要条件的应用级数收敛级数发散（判定级数发散的方法,35,小 结,一、常数项级数的基本概念,基本审敛法,3,.按基本性质判定敛散.,2,.当,则级数发散(必要条件);,1,.由定义,级数收敛,（判定级数发散的方法）,小 结一、常数项级数的基本概念基本审敛法3.按基本性质判定,36,二、常用级数的敛散性,1.等比（几何）级数,二、常用级数的敛散性1.等比（几何）级数,37,作 业,习题,1-1 p.192,1.(1),(3);2.3.4.,作 业习题1-1 p.1921.(1),(3);,38,