,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一道高考题的,解法与思考,一道高考题的,2015,年浙江省高考理科数学第,15,题以向量为载体，以多变量最值为背景，以代数运算为手段考查向量的数量积运算与向量模的概念及几何意义的理解，要求学生具有较强的跨知识点运用，分析，运算等能力，在思维灵活性的考查上考查学生综合应用知识的能力。下面我把对此题的解法及问题的演变的探究给大家做个汇报，因为能力有限，望亲爱的同行们给予批评与指正。,2015年浙江省高考理科数学第15题以向量为载体，以多变量最,一,.,思路分析与解法研究,题目：,2015,年 浙江理,15,已知 是空间单位向量，若空间向量 满足,且对于任意,则,一.思路分析与解法研究题目：2015年 浙江理15 已知,则由,得,则,对于任意 恒成立。,又对任意,分析,1,：问题表述简洁，指向明确，即求,恒成立时参数 的值及对应的 ，考虑到参变量较多，可以通过向量的坐标化，利用代数运算将不等关系转化为函数的最值大小，使条件更明晰。,解法,1,：以平面,AOB,中以 相同方向的数轴为,x,轴，建立空间直角坐标系,O-xyz,则由得则对于任意 恒成立,因为,所以,整理地,故,因此,评注：向量的坐标运算实质是把向量问题转化为代数问题，通过坐标公式建立相关参数成立的不等式，通过夹逼原理将参数明确化，充分体现了方程与不等式思想在解题中的应用，体现了向量坐标运算的优越性。,因为所以整理地故因此评注：向量的坐标运算实质是把向量问题转化,解法,2,：由,对于任意,得：,即：,对任意的,x,恒成立,得：,整理得：,对任意的,y,恒成立,则：,即：,分析,2,：由于 与向量 的关系已知，且向量的模为关于向量坐标的二次函数，因此，本题实质为二次函数对实数,x,y,的恒成立问题和对实数 的存在性问题，所以可以用判别式来处理。,解法2：由对于任意得：即：对任意的x恒成立得：整理得：对任意,又存在 ，,使,故,因此,即,评注：一些数学问题，只从形式上看，容易被问题所描述的表象所迷惑，如果我们充分挖掘问题所蕴含的背景，经过转化，可以使其化归为我们熟知的问题形式。,又存在 ，使故因此即评注：,一旦我们认识到问题实质为二次函数背景下的任意性与存在性问题，可以结合配方法，利用二次函数的有界性，直接确定不等关系所隐藏的函数的最值。,函数 取得最小值,1,因此,解法,3,：由题意可知，当 时，,因为,当且仅当,即,x=1,y=2,时，等号成立,一旦我们认识到问题实质为二次函数背景下的任意性与存在性问题，,解法,4,：因为,则,向量是数形结合的经典。对于向量问题，我们既要关注运用代数,法去求解，也要学会从几何的角度去思考。考虑到,表示以 所对应的有向线段为邻边的平行四边形的,对角线，而 表示两间的距离，由最小值可以构造一个直四棱柱直观求解。,取,所确定平面 的一,单位法向量,由,的几何意义，,的终点到平面的距离为,1,，故 在空间基底 下的分,解式为,所以,解法4：因为则向量是数形结合的经典。对于向量问题，我们既要关,整理得,即,向量既具有方向，长度，夹角等“形”的特征，又具有大小，正负，可进行运算等“数”的属性，如果我们在学习过程中能深刻理解向量相关概念，在解题时就能抓住向量的“数形”双重性，突出其本质，则感受到思维深邃的意蕴，使解法简单。,整理得即向量既具有方向，长度，夹角等“形”的特征，又具有大小,二,.,课本寻根与问题演变,正如”木有本,水有源”,同样地”题亦有根”,在茫茫题海中很多题目表面上不同,但其实质一样,可归结为同一题根,.,题根不是一个孤立的题目,它是一个题系中的根基,.,抓住了根基,就能深刻领悟问题是实质,就会收到做一题,会一类,通一片的学习效果,.,显然，本试题的空间背景为直四棱柱，与距离和向量的投影紧密相联。先回到课本内寻找其“根”。数学教材必修,4,的课后练习：已知 为单位向量，当他们之间的夹角分别等于 时，画图表示 在 方向上的投影，并求其值。如果将此练习中向量变更为动态向量，则可以它在课外的“生长繁衍”。,二.课本寻根与问题演变 正如”木有本,水有源”,下面有几个变式进行巩固练习,:,变式,1:,已知,对任意的 恒有,则,变式,2:,若 是空间中两个相互垂直的单位向量,且,则对于任意 实数,的最小值是,_,谢谢大家！,下面有几个变式进行巩固练习:变式1:已知,