第十,八章,平行四边形,人教版,特殊平行四边形的性质与判定的综合应用,习题练习,1,如图,，,矩形,ABCD,中,，,E,是,AD,的中点,，,延长,CE,，,BA,交于点,F,，,连接,AC,，,DF.,(1),求证：四边形,ACDF,是平行四边形；,(2),当,CF,平分,BCD,时,，,写出,BC,与,CD,的数量关系,，,并说明理由,解：,(1),四边形,ABCD,是矩形,，,ABCD,，,FAE,CDE,，,E,是,AD,的中点,，,AE,DE,，,又 ,FEA,CED,，,FAECDE,，,CD,FA,，,又 ,CDAF,，,四边形,ACDF,是平行四边形,(2)BC,2CD.,证明：,CF,平分,BCD,，,DCE,45,，,CDE,90,，,CDE,是等腰直角三角形,，,CD,DE,，,E,是,AD,的中点,，,AD,2CD,，,AD,BC,，,BC,2CD,如图,，,在,ABC,中,，,AB,6,，,AC,8,，,BC,10,，,P,为边,BC,上一动点,(,且点,P,不与点,B,，,C,重合,),，,PE,AB,于点,E,，,PF,AC,于点,F,，,则,EF,的最小值为,_,4.8,在RtBCF和RtBOF中，,CFOF，BFBF，,RtBCFRtBOF，,BCBO.,BC23，,BO23，,AC43，,ABAC2BC2（43）2（23）26,C,3,如图,，,在菱形,ABCD,中,，,对角线,AC,与,BD,交于点,O.,过点,C,作,BD,的平行线,，,过点,D,作,AC,的平行线,，,两直线相交于点,E.,(1),求证：四边形,OCED,是矩形；,(2),若,CE,1,，,DE,2,，,菱形,ABCD,的面积是多少？,(2)由(1)知，OCED是矩形，,则CEOD1，DEOC2.,四边形ABCD是菱形，,AC2OC4，BD2OD2，,菱形ABCD的面积为12ACBD12424,3,如图,，,在,ABCD,中，过点,D,作,DEAB,于点,E,，点,F,在边,CD,上，,DF,BE,，连接,AF,，,BF.,(1),求证：四边形,BFDE,是矩形；,(2),若,CF,3,，,BF,4,，,DF,5,，求证：,AF,平分,DAB.,解：,(1),在,ABCD,中，,ABCD,，,DF,BE,，,四边形,BFDE,为平行四边形,，,DEAB,，,DEB,90,，,四边形,BFDE,是矩形,(2),由,(1),可得,BFC,90,，,在,Rt,BFC,中，由勾股定理可得,BC,5,，,AD,BC,5,，,AD,DF,，,DAF,DFA,，,ABCD,，,DFA,FAB,，,DAF,FAB,，,AF,平分,DAB,4,如图,，,在,ABCD,中,，,DAB,60,，,AB,2AD,，,点,E,，,F,分别是,AB,，,CD,的中点,，,过点,A,作,AGBD,交,CB,的延长线于点,G.,(1),求证：四边形,DEBF,是菱形；,(2),请判断四边形,AGBD,是什么特殊四边形？并加以证明,(2)四边形AGBD是矩形，,理由如下：,ADBC，且AGBD，,四边形AGBD是平行四边形,由(1)的证明知ADDEAEBE，ADB90，,AGBD是矩形,5.,在正方形,ABCD,中,，,对角线,BD,所在的直线上有两点,E,，,F,满足,BE,DF,，,连接,AE,，,AF,，,CE,，,CF,，,如图所示,(1),求证：,ABEADF,；,(2),试判断四边形,AECF,的形状,，,并说明理由,证明：(1)正方形ABCD，,ABAD，,ABDADB，,ABEADF，,在ABE与ADF中，,ABAD，ABEADF，BEDF，ABEADF(SAS),如图,，,平行四边形,ABCD,的两条对角线相交于点,O,，,E,是,BO,的中点,，,过点,B,作,AC,的平行线,，,交,CE,的延长线于点,F,，,连接,AF.,(1),求证：,FB,AO,；,(2),当平行四边形,ABCD,满足什么条件时,，,四边形,AFBO,是菱形？证明你的结论,解：,(1),BF,AC,，,BFE,OCE,，,又,BE,OE,，,BEF,OEC,，,BEF,OEC(,AAS,),，,BF,OC,，,又,OC,OA,，,BF,OA,(2),当平行四边形,ABCD,是矩形时,，,四边形,AFBO,是菱形,理由：,FB,AO,，且,FB,OA,，,四边形,AFBO,是平行四边形,，,平行四边形,ABCD,是矩形，,OA,OB,，,四边形,AFBO,是菱形,6,如图,，,ABC,是等腰直角三角形,，,A,90,，,点,P,，,Q,分别是,AB,，,AC,上的动点,，,且满足,BP,AQ,，,D,是,BC,的中点,(1),求证：,PDQ,是等腰直角三角形；,(2),当点,P,运动到什么位置时,，,四边形,APDQ,是正方形,，,并说明理由,解：(1)连接AD，,易证：ADQBDP，,PDDQ，ADQBDP，,易知ADBC，,ADPPDB90，,ADQPDA90，,PDQ是等腰直角三角形,6,如图,，,在边长为,10,的菱形,ABCD,中,，,对角线,BD,16,，,点,O,是直线,BD,上的动点,，,OE,AB,于点,E,，,OF,AD,于点,F.,(1),对角线,AC,的长是,_,，,菱形,ABCD,的面积是,_,；,(2),如图,，,当点,O,在对角线,BD,上运动时,，,OE,OF,的值是否会发生变化？请说明理由；,(3),如图,，,当点,O,在对角线,BD,的延长线上时,，,OE,OF,的值是否会发生变化？若不变,，,请说明理由；若变化,，,请探究,OE,，,OF,之间的数量关系,，,并说明理由,12,96,7,如图,，,在正方形,ABCD,中,，,P,是对角线,BD,上的一点,，,点,E,在,AD,的延长线上,，,且,PA,PE,，,PE,交,CD,于点,F.,(1),证明：,PC,PE,；,(2),求,CPE,的度数；,(3),如图,，,把正方形,ABCD,改为菱形,ABCD,，,其他条件不变,，,当,ABC,120,时,，,连接,CE,，,试探究线段,AP,与线段,CE,的数量关系,，,并说明理由,解：,(1),证明：在正方形,ABCD,中,，,AB,BC,，,ABP,CBP,45,，,ABPCBP(,SAS,),，,PA,PC,，,PA,PE,，,PC,PE,(2),由,(1),知,ABPCBP,，,BAP,BCP,，,DAP,DCP,，,PA,PE,，,DAP,E,，,DCP,E,，,CFP,EFD(,对顶角相等,),，,180,PFC,PCF,180,DFE,E,，,即,CPF,EDF,90,(3),易知,ABPCBP(,SAS,),，,PA,PC,，,BAP,BCP,，,PA,PE,，,PC,PE,，,DAP,DCP,，,PA,PE,，,DAP,DEP,，,DCP,DEP,，,CFP,EFD(,对顶角相等,),，,180,CFP,PCF,180,EFD,DEP,，,即,CPF,EDF,180,ADC,180,120,60,，,EPC,是等边三角形,，,PC,CE,，,AP,CE,如图,，,P,是矩形,ABCD,内一点,，,AP,BP,于点,P,，,CE,BP,于点,E,，,BP,EC.,(1),请判断四边形,ABCD,是否是正方形？若是,，,写出证明过程；若不是,，,说明理由；,(2),延长,EC,到点,F,，,使,CF,BE,，,连接,PF,交,BC,的延长线于点,G,，,求,BGP,的度数,解：,(1),四边形,ABCD,为正方形,证明：,四边形,ABCD,是矩形,，,ABC,90,，,即,ABP,PBC,90,，,AP,BP,，,ABP,PAB,90,，,PBC,PAB,，,CE,BP,，,APB,BEC,90,，,又,BP,CE,，,ABP,BCE(,AAS,),，,AB,BC,，,矩形,ABCD,为正方形,(2),连接,AC,，,ABP,BCE,，,AP,BE,，,BE,CF,，,AP,CF,，,AP,BP,，,CE,BP,，,AP,CF,，,四边形,ACFP,是平行四边形,，,AC,PF,，,ACB,BGP,，,四边形,ABCD,是正方形,，,AC,是对角线,，,ACB,45,，,BGP,45,8,如图,，,以,ABC,的边,AB,，,AC,为边的等边三角形,ABD,和等边三角形,ACE,，,四边形,ADFE,是平行四边形,(1),当,BAC,满足什么条件时,，,四边形,ADFE,是矩形；,(2),当,BAC,满足什么条件时,，,平行四边形,ADFE,不存在；,(3),当,ABC,分别满足什么条件时,，,平行四边形,ADFE,是菱形？正方形？,解：,(1),当,BAC,150,时,，,四边形,ADFE,是矩形,，,DAE,360,120,150,90,，,四边形,ADFE,是平行四边形,，,四边形,ADFE,是矩形,(,有一个角是直角的平行四边形是矩形,),(2),当,BAC,60,时,，,平行四边形,ADFE,不存在,，,DAE,360,60,60,60,180,(3),当,AB,AC,且,BAC,不等于,60,时,，,ADFE,是菱形,当,AB,AC,，,BAC,150,时,，,ADFE,是正方形,谢谢观看,