微分方程模型,2,如何预报人口的增长,3,如何施救药物中毒,4,人口预测和控制模型,1,目标跟踪问题,微分方程模型2 如何预报人口的增长4 人口预测和控制模型1,动态模型,描述对象特征随时间,(,空间,),的演变过程,.,分析对象特征的变化规律,.,预报对象特征的未来性态,.,研究控制对象特征的手段,.,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,.,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,.,按照内在规律或用类比法建立微分方程,.,动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程.分析对象特,1,目标跟踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于,x,轴上点,A,(1,0),处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度,v,0,(,常数,),沿平行于,y,轴的直线行驶，导弹的速度是,5,v,0,，求导弹运行的曲线方程乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,1 目标跟踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于,由,(1),(2),消去,t,整理得模型,:,由(1),(2)消去t,整理得模型:,解法二,(,数值解法,),1,建立,M,文件,eq1,m,function,dy=eq1(x,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=y(2);,dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2,取,x0=0,，,xf=0,9999,，建立主程序如下,：,x0=0,，,xf=0,9999,x,y=ode15s(,eq1,x0 xf,0 0);,plot(x,y(:,1),b,),hold on,y=0:0,01:2;,plot(1,y,b*,),结论,:,导弹大致在（,1,，,0,2,）处击中乙舰,.,令,y,1,=,y,y,2,=,y,1,，将方程（,3,）化为一阶微分方程组,解法二(数值解法)1建立M文件eq1m2 取x0=0,结果见图,导弹大致在（,1,，,0,2,）处击中乙舰，与前面的结论一致,返 回,结论：时刻,t,=0,21,时，导弹在（,1,，,0,21,）处击中乙舰,结果见图导弹大致在（1，02）处击中乙舰，与前面的结论一致,背景,年份,1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口,(,亿,)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年份,1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口,(,亿,)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,2,如何预报人口的增长,做出较准确的预报,建立人口数学模型,背景 年份 1625 1830 19,指数增长模型,马尔塞斯,1798,年,提出,常用的计算公式,x,(,t,),时刻,t,的,人口,基本假设,:,人口,(,相对,),增长率,r,是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,.,与常用公式的一致,?,指数增长模型马尔塞斯1798年提出常用的计算公式x(t),指数增长模型的应用及局限性,与,19,世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,.,适用于,19,世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,.,可用于短期人口增长预测,.,不符合,19,世纪后多数地区人口增长规律,.,不能预测较长期的人口增长过程,.,19,世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数,(,逐渐下降,),指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统,阻滞增长模型,Logistic,模型,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,固有增长率,(,x,很小时,),x,m,人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,x,的减函数,阻滞增长模型Logistic 模型人口增长到一定数量后，,d,x,/d,t,x,O,x,m,x,m,/2,t,x,O,x,增加先快后慢,x,m,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),指数增长模型,Logistic,模型的应用,经济领域中的增长规律,(,耐用消费品的售量,).,种群数量模型,(,鱼塘中的鱼群,森林中的树木,).,S,形曲线,dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0 xm/,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，,必须先估计模型参数,r,或,r,x,m,.,模型的参数估计、检验和预报,指数增长模型,阻滞增长模型,由统计数据用,线性最小二乘法,作参数估计,例：美国人口数据,(,百万,),t,1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000,x,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4,参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，模型的参数估,r,=0.2022/10,年，,x,0,=6.0450,模型的参数估计、检验和预报,指数增长模型,阻滞增长模型,r,=0.2557/10,年，,x,m,=392.0886,年,实际人口,计算人口,(,指数增长模型,),计算人口,(,阻滞增长模型,),1790,3.9,6.0,3.9,1800,5.3,7.4,5.0,1960,179.3,188.0,171.3,1970,204.0,230.1,196.2,1980,226.5,281.7,221.2,1990,251.4,344.8,245.3,2000,422.1,指数增长模型,阻滞增长模型,r=0.2022/10年，x0=6.0450 模型的参数,用模型计算,2000,年美国人口,误差约,2.5%,与实际数据比较,(2000,年,281.4,),=,274.5,模型的参数估计、检验和预报,为作,模型检验,在参数估计时未用,2000,年实际数据,加入,2000,年数据重估模型参数,r,=0.2490,，,x,m,=434.0,x,(2010)=306.0,预报,美国,2010,年人口,美国人口普查局,2010,年,12,月,21,日公布：截止到,2010,年,4,月,1,日美国总人口为,3.087,亿,.,预报误差不到,1%,！,用模型计算2000年美国人口误差约2.5%与实际数据比较(2,场景,3,如何施救药物中毒,两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室,.,诉说两小时前孩子一次误吞下,11,片,治疗哮喘病、剂量,100mg/,片,的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状,.,按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是,100200mg,，儿童是,35 mg/kg.,过量服用可使血药浓度,(,单位血液容积中的药量,),过高，,100,g/ml,浓度会出现,严重中毒,200,g/ml,浓度可致命,.,医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到,100200,g/ml,；如果会达到，应采取怎样的,紧急施救,方案,.,场景3 如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院,调查与分析,转移率正比于,x,排除率正比于,y,胃肠道,血液系统,口服药物,体外,认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立,“一室模型”,.,药量,x,(,t,),药量,y,(,t,),血液系统对药物的吸收率,(,胃肠道到血液系统的转移率,),和排除率可以由,半衰期,确定,.,半衰期,可以从药品说明书上查到,.,调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物,通常，血液总量约为人体体重的,7,%,8%,，体重,5060 kg,的成年人有,4000ml,左右的血液,.,目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为,2000ml.,调查与分析,血药浓度,=,药量,/,血液总量,口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的,2,倍,.,临床施救的办法：,体外血液透析，药物排除率可增加到原来的,6,倍，但是安全性不能得到充分保证,.,通常，血液总量约为人体体重的7%8%，体重5060,模型假设,1.,胃肠道中药物向血液的转移率与,x,(,t,),成正比，比例系数,(0),，总剂量,1100 mg,药物在,t,=0,瞬间进入胃肠道,.,2.,血液系统中药物的排除率与,y,(,t,),成正比，比例系数,(0),，,t,=0,时血液中无药物,.,3.,氨茶碱被吸收的半衰期为,5 h,，排除的半衰期为,6 h.,4.,孩子的血液总量为,2000 ml.,胃肠道中药量,x,(,t,),血液系统中药量,y,(,t,),，时间,t,以孩子误服药的时刻为起点（,t,=0,）,.,模型假设 1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比,模型建立,x,(,t,),下降速度与,x,(,t,),成正比,(,比例系数,),总剂量,1100mg,药物在,t,=0,瞬间进入胃肠道,.,转移率正比于,x,排除率正比于,y,胃肠道,血液系统,口服药物,体外,药量,x,(,t,),药量,y,(,t,),y,(,t,),由吸收而增长的速度是,x,，由排除而减少的速度与,y,(,t,),成正比,(,比例系数,),t,=0,时血液中无药物,.,模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数),总,模型,求解,药物吸收的半衰期为,5 h,药物排除的半衰期为,6 h,只考虑血液对药物的排除,模型求解 药物吸收的半衰期为5 h 药物排除的半衰期为6 h,血液总量,2000ml,血药浓度,200,g/ml,结果及分析,胃肠道药量,血液系统药量,血药浓度,100,g/ml,y,(,t,)=200mg,严重中毒,y,(,t,)=400mg,致命,t,=1.62,t,=4.87,t,=7.89,y,=442,孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约,3h,后将致命！,y,(2)=236.5,血液总量2000ml血药浓度200g/ml结果及分析 胃肠,施救方案,口服活性炭使药物排除率,增至原来的,2,倍,.,孩子到达医院,(,t,=2),就开始施救，血液中药量记作,z,(,t,),=0.1386(,不变,),，,=0.1155,2=0.2310,施救方案 口服活性炭使药物排除率增至原来的2倍.孩子到,施救方案,t,=5.26,z,=318,施救后血液中药量,z,(,t,),显著低于,y,(,t,).,z,(,t,),最大值低于致命水平,.,要使,z,(,t,),在施救后立即下降，可算出,至少应为,0.4885.,若采用体外血液透析，,可增至,0.1155,6=0.693,，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定,.,施救方案 t=5.26z=318 施救后血液中药量z(t),偏微分方程与数学模型,2024/11/16,济南大学 数学科学学院,24,偏微分方程与数学模型2023/8/1济南大学 数学科学学院2,偏微分方程,偏微分方程,（,P,artial,D,ifferential,E,quations,）,指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程,2024/11/16,济南大学 数学科学学院,25,偏微分方程偏微分方程（Partial Differentia,什么是偏微分方程？,2024/11/16,济南大学 数学科学学院,26,物理量,(,如位移、温度等,)-,时间、空间位置,-,物理量的变化规律,(,偏微分方程,),什么是偏微分方程？2023/8/1济南大学 数学科学学,例子,2024/11/16,济南大学 数学科学学院,27,例子 2023/8/1济南大学 数学科学学院27,研究内容,2024/11/16,济南大学 数学科学学院,28,一般规律,+,定解条件,(,初始条件、边界条件,),定解问题,定解问题的适定性：,存在性（,Existence,）,唯一性（,Uniqueness,）,稳定性（,Stability,