,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上一页,下一页,返回,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,简言之：,连续函数一定有原函数,.,问题：,(1),原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2),若不唯一它们之间有什么联系？,关于原函数的说明：,（,1,）,若 ，则对于任意常数 ，,（,2,）,若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,任意常数,积分号,被积函数,不定积分的定义：,被积表达式,积分变量,例,1,求,解,解,例,2,求,例,3,设曲线通过点（,1,，,2,），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（,1,，,2,）,所求曲线方程为,显然，求不定积分得到一积分曲线族,.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是,互逆,的,.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式,.,二、基本积分表,基本积分表,是常数,);,说明：,例,4,求积分,解,根据积分公式（,2,）,证,等式成立,.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、不定积分的性质,例,5,求积分,解,例,6,求积分,解,例,7,求积分,解,例,8,求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,.,解,所求曲线方程为,基本积分表,(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,第二节 换元积分法,一、第一类换元法,二、第二类换元法,三、小结,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量,.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,设,则,如果,（可微）,由此可得换元法定理,第一类换元公式,（,凑微分法,）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同,.,定理,1,例,1,求,解,（一）,解,（二）,解,（三）,例,2,求,解,一般地,例,3,求,解,例,4,求,解,例,5,求,解,例,6,求,解,例,7,求,解,例,8,求,解,例,9,求,原式,例,10,求,解,例,11,求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,.,例,12,求,解,例,13,求,解,（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解,（二）,类似地可推出,解,例,14,设 求,.,令,例,15,求,解,作业,P190,习题,4-1,1(5)(12)(14)(18)(20)(21)(24)(25),，,2.,P204,习题,4-2,2(4)(6)(7)(8)(9)(11)(14)(15)(17),(18)(19)(21)(27)(30)(32)(33)(36),(37)(40).,end,