单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第7讲,空间中角与距离的计算,考纲要求,考纲研读,空间向量的应用,(1)理解直线的方向向,量与平,面的法向量,(2)能用向量语言表述直线与,直线、直线与平,面、平面与,平面的垂直、平行关系,(3)能用向量方法解决直线与,直线、直线与平面、平面与,平面的夹角的计算问题，,了,解向量方法在研究几何问题,中的作用,.,1.线线垂直、两异面直线的夹角、两,点间的距离等问题的解决往往借助,于向量坐标正方体、长方体、底,面有一角为直角的直棱柱、底面为,菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出,现三条两两垂直直线的图形，常常,考虑空间直角坐标系,2能较易建立直角坐标系的，尽量,建立直角坐标系其次要注意向量,运算与基本性质相结合的论述，这,是今后的方向，可以“形到形”，,可以“数到形”，注意数形结合.,1异面直线所成的角,锐角或直角,过空间任一点,O,分别作异面直线,a,与,b,的平行线,a,与,b,.,那么直线,a,与,b,所成的_，叫做异面直线,a,与,b,所,成的角，其范围是_,(0，90,2直线与平面所成的角,(1)如果直线与平面平行或者在,平面内，则直线与平面所成的,角等于_.,0,(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.,(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线,与平面所成的角，其范围是_,(0，90),90,斜线与平面所成的_是这条斜线和平面,内经过斜足的,直线所成的一切角中最_的角,线面角,小,3二面角,从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角从二,面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条,射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角,的二面角叫做_,直二面角,4点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距,离求点到平面的距离通常运用_，即构造一个三棱锥，将,点到平面的距离转化为三棱锥的_,等积法,高,5直线与平面平行，那么直线任一点到平面的距离叫做这条,直线与平面的距离,A充分不必要条件,C充要条件,B必要不充分条件,D既不充分也不必要条,件,B,C,3在空间四边形,ABCD,中，,E,，,F,分别为,AC,，,BD,的中点，,若,CD,2,AB,4，,EF,AB,，则,EF,与,CD,所成的角为(,),A90,B60,C45,D30,D,4已知两平面的法向量分别为,m,(0,1,0)，,n,(0,1,1)，则两,平面所成的二面角为_.,45或 135,5如图 1371，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,BC,2，,AA,1,1，则,BC,1,与平面,BB,1,D,1,D,所成角的正弦值为_.,图 1371,考点1,线面所成角的计算,例,1,：,如图,1372，已知,AB,平面,ACD,，,DE,平面,ACD,，,ACD,为等边三角形，,AD,DE,2,AB,，,F,为,CD,的中点,(1)求证：,AF,平面,BCE,；,(2)求证：平面,BCE,平面,CDE,；,(3)求直线,BF,和平面,BCE,所成,角的正弦值,图 1372,图,D32,求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：,传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与,平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小找射影的,基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直,线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平,面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即,为射影,空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利,用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角,【互动探究】,1(2010,年全国,),正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,BB,1,与平面,ACD,1,所成角的余弦值为(,),答案：,D,考点2,面面所成角的计算,例,2,：,(20,11,年全国,),如图,1373,，四棱锥,P,ABCD,中，底,面,ABCD,为平行四边形,DAB,60,AB,2,AD,PD,底面,ABCD,.,图 1373,(1)证明：,PA,BD,；,(2)若,PD,AD,，求二面角,A,PB,C,的余弦值,图,D33,求二面角，大致有两种基本方法：,(1),传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三,垂线定理法；射影面积法,(2),空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求,出两个平面的法向量，通过求两个法向,量的夹角得出二面角的大,小,【互动探究】,2,(2011年江苏),如图1374，在正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,2，,AB,1，点,N,是,BC,的中点，点,M,在,CC,1,上，设二,图 1374,面角,A,1,DN,M,的大小为,.,(1)当,90时，求,AM,的长；,考点3 立体几何中的综合问题,例,3,：,如图 1375，,S,是,ABC,所在平面外一点，,AB,BC,2,a,，,ABC,120，且,SA,平面,ABC,，,SA,3,a,，求点,A,到平,面,SBC,的距离,图 1375,图 1376,解析：,方法一：如图,13,7,6,，作,AD,BC,交,BC,延长线于,D,，连接,SD,.,SA,平面,ABC,，,SA,BC,，,又,SA,AD,A,，,BC,平面,SAD,.,又,BC,平面,SBC,，,平面,SBC,平面,SAD,，且平面,SBC,平面,SAD,SD,.,过点,A,作,AH,SD,于,H,，由平面与平面垂直的性质定理可知，,AH,平面,SBC,.,于是,AH,即为点,A,到平面,SBC,的距离,方法三：如图,13,7,7,，以,A,为,坐标原点，以,AC,，,AS,所在直线为,y,轴，,z,轴，以过,A,点且垂直于,yOz,平面直线为,x,轴建立空间直角坐标系,图1377,求点到平面的距离通常有以下方法：,(1),直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足的,距离；,(2),间接法，包括等体积法和转化法；,(3),向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向,量方向上的射影长，此射影长即为所求点面距,【互动探究】,3在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,BC,2，过,A,1,，,C,1,，,B,三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图 1378 所示的,几何体,ABCD,A,1,C,1,D,1,，且这个几何体的体积为 10.,图 1378,(1)求棱,A,1,A,的长；,(2)求点,D,到平面,A,1,BC,1,的距离,考点4 求二面角,例,4,：,如图,1379，四边形,ABCD,是圆柱,OQ,的轴截面，,点,P,在圆柱,OQ,的底面圆周上，,G,是,DP,的中点，圆柱,OQ,的底面,圆的半径,OA,2，侧面积为 8 ，,AOP,120.,(1)求证：,AG,BD,；,(2)求二面角,P,AG,B,的平面角的余弦值,图 1379,图,13,7,10,本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面,与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及平面几何的圆等知,识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解,决立体几何问题的能力,1利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知,条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将,几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的,向量运算，以算代证，以值定形这种方法可减少复杂的空间结,构分析，使得思路简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准确地解,决问题,立体几何中，处理空间的角和距离的问题主要掌握两种方法：,传统方法和向量方法传统方法需要较高的空间想象能力，需要,深刻理解角和距离的定义，灵活运用空间的平行和垂直的定理和,性质；向量方法必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出,如下几点：怎样建立直角坐标系及坐标系建立技巧；法向量的应,用对处理角和距离的重要性；怎样用向量解决立体几何中的几大,常见题型；准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺,点总而言之，两种方法各有千秋，同学们在解题过程中需灵活,选用,1,、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。,15 十一月 2024,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,2,、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种偶然的机遇只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。,十一月 24,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,11/15/2024,3,、书籍,通过心灵观察世界的窗口,.,住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。,2024/11/15,2024/11/15,15 November 2024,4,、享受阅读快乐，提高生活质量。,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,谢谢观赏,You made my day!,我们，还在,路,上,