,第四节 向量空间,一 向量空间,二向量空间的基与维数,三 基变换与坐标变换,1,、定义,一、向量空间,设,为,n,维非空向量组，且满足对,线性运算,封闭,对加法封闭,对数乘封闭,那么就称集合,为,向量空间,.,例如，,=0,和,=,R,n,均为向量空间,2,、定义,设U、为两向量空间，假设,，那么称U是,的,子空间,。,例如，,设,是一向量空间，,则由,的所有线性组合所组成的集合,是,的子空间,二、向量空间的基与维数,定义,均可由 线性表示,.,假设满足：,设,是一个向量空间，它的某,r,个向量,记作：,r=,dim,，,线性无关；,则称为,的一个,基,.,r,称为,的,维数,.,是一个,r,维,向量空间,规定,零空间的维数为,0,注：,向量空间的基是其作为向量集合的极大线性无关组,向量空间的维数等于其基向量组的秩,向量空间的基不唯一,的,坐标向量,，简称,坐标,定理：,假设向量空间V的维数为r,那么V中任r个线性无关的,向量都是,V,的一组基,向量空间的坐标,设 为向量空间,的一组基，则任给,可唯一的由,表示为,向量,称为,关于基,设,例,1,证明：为向量空间,R,3,的一组基,求 在基 下的坐标,提示,1,：,令,则,|,A,|,0,，故线性无关,提示,2,：,注：,在基本向量组 下的坐标为,一个向量在一组基下的坐标是唯一确定的,一个向量在不同基下的坐标是不同的,问题,:,三、基变换与坐标变换,1,、设,为,n,维非空向量组，对于,中两组不同基之间有,什么关系？,2,、,中的一个向量在两组不同基下有什么关系？,过渡矩阵建立了不同基之间的关系，具有如下,性质,：,1,、定义,设,是向量空间,两组不同的基，假设有矩阵Cr r，使得,则称矩阵,C,为从基,到基,的过渡矩阵基变换矩阵,C,的第,i,列是,关于基,的坐标,C,为可逆矩阵,(,?,),，且,C,的逆矩阵是,到基,的过渡矩阵,则,对任意向量,，且在上述两组不同基下的坐标分别为,X,和,Y,，即,由坐标的唯一性：,即为,坐标变换公式,。,注意：,坐标变换公式,与,基变换公式,表述形式的区别,例：设,是,4,维向量空间,4,的一组基，且,证明：,是,4,的一组基，并求,的过度矩阵,求,在,下的坐标,解：,由题可得两向量组之间有如下关系,线性无关，即为,4,的一组基,因过渡矩阵,C,可逆，故,由,，利用坐标变换公式得,