,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五章,平面投影,5.1 平面的投影,一、平面的表示法,a,b,c,a,b,c,不在同一直线上的三个点,a,b,c,a,b,c,直线及线外一点,a,b,c,a,b,c,d,d,两平行直线,a,b,c,a,b,c,两相交直线,a,b,c,a,b,c,平面图形,1、用几何元素表示平面,1,平行,垂直,倾斜,投 影 特 性,平面平行投影面-投影就把实形现,平面垂直投影面-投影积聚成直线,平面倾斜投影面-投影类似原平面,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影特性,2,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类,：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,特殊位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面,3,1）,投影面垂直面,铅垂面,正垂面,侧垂面,4,V,W,H,P,P,H,铅垂面,投影特性：1、,abc,积聚为一条线,2、,a,b,c,、,a,b,c,为,ABC,的类似形,3、,abc,与,OX,、,OY,的夹角,反映,、,角的真实大小,A,B,C,a,c,b,a,b,a,b,b,a,c,c,c,5,V,W,H,Q,Q,V,正垂面,投影特性：1、,a,b,c,积聚为一条线,2、,abc,、,a,b,c,ABC,的类似形,3、,a,b,c,与,OX,、,OZ,的夹角,反映,、,角的真实大小,a,b,a,b,b,a,c,c,c,A,c,C,a,b,B,6,V,W,H,S,W,S,侧垂面,投影特性：1、,a,b,c,积聚为一条线,2、abc、,a,b,c,为,ABC,的类似形,3、,a,b,c,与,OZ,、,OY,的夹角,反映,、,角的真实大小,C,a,b,A,B,c,a,b,b,b,a,a,c,c,c,7,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,是什么位置的平面？,8,2）投影面平行面,水平面,正平面,侧平面,9,V,W,H,水平面,投影特性：,1、,a,b,c,、,a,b,c,积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性,2、水平投影,abc,反映,ABC,实形,C,A,B,a,b,c,b,a,c,a,b,c,c,a,b,b,b,a,a,c,c,10,正平面,V,W,H,投影特性：,1、,abc,、,a,b,c,积聚为一条线，具有积聚性,2、正平面投影,a,b,c,反映,ABC,实形,c,a,b,b,a,c,b,c,a,b,a,c,a,b,c,b,c,a,C,B,A,11,投影特性：,1、,abc,、,a,b,c,积聚为一条线，具有积聚性,2、侧平面投影,a,b,c,反映,ABC,实形,侧平面,V,W,H,a,b,b,b,a,c,c,c,a,b,c,b,a,c,a,b,c,C,A,B,a,12,a,b,c,a,b,c,a,b,c,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,13,3）一般位置平面,14,一般位置平面,投影特性,1、,abc、a,b,c,、a,b,c,均为,ABC的类似形,2、不反映,、,、,的真实角度,a,b,c,b,a,c,a,b,a,b,b,a,c,c,b,a,c,C,A,B,15,判断直线在平面内的方法,定 理 一,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,定 理 二,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,平面上取任意直线,三、平面上的直线和点,16,17,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,a,d,m,n,n,m,d,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有多少解？,有无数解。,18,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,10,c,a,b,c,a,b,唯一解！,有多少解？,19,平面上取点,20,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,b,a,c,c,a,k,b,k,面上取点的方法：,首先面上取线,a,b,c,a,b,k,c,d,k,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,21,例题2 已知,ABC,给定一平面，试判断点,D,是否属于该平面。,d,d,a,b,c,a,b,c,e,e,22,b,c,k,a,d,a,d,b,c,a,d,a,d,b,c,k,b,c,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形,ABCD的水平投影。,解法一,解法二,23,3、平面上的投影面平行线,一般位置平面上存在,一般位置直线,和,投影面平行线,，不存在投影面垂直线。,24,25,a,b,c,b,a,c,例题 已知,ABC,给定一平面，试过点,C,作属于该平面的正平线，过点,A,作属于该平面 的水平线,。,m,n,n,m,26,5.2,圆的投影,圆的投影特性：,1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；,2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；,3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；,27,5.3,直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括,平行,、,相交,和,垂直,。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,包括,直线与平面平行,定理：,若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。,28,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,有多少解？,29,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平 面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,n,唯一解,n,30,例题3 试判断直线,AB,是否平行于定平面,f,g,f,g,b,a,a,b,c,e,d,e,d,c,结论：直线,AB,不平行于定平面,31,两平面平行,若一平面上的,两相交直线,对应平行于另一平面上的,两相交直线,，则这两平面相互平行。,若两,投影面垂直面,相互平行，则它们,具有积聚性,的那组投影必相互平行。,f,h,a,b,c,d,e,f,h,a,b,c,d,e,c,f,b,d,e,a,a,b,c,d,e,f,32,例题1 试判断两平面是否平行,f,e,d,e,d,f,c,a,a,c,b,b,m,n,m,n,r,r,s,s,结论：两平面平行,33,例题2 已知定平面由平行两直线,AB,和,CD,给定。试过点,K,作一平面平行于已知平面。,e,m,n,m,n,f,e,f,s,r,s,r,d,d,c,a,a,c,b,b,k,k,34,二、相交问题,直线与平面相交,平面与平面相交,直线与平面相交,直线与平面相交，其,交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求,直线与平面的,交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即,判别可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况,。,35,36,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，,KN段在平面前，故正面投影上,k,n,为可见。,还可通过重影点判别可见性。,k,1,(,2,),作 图,k,2,1,37,38,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故,k,2,为不可见。,1,(,2,),k,2,1,作图,用面上取点法,39,两平面相交,两平面相交其交线为直线，,交线是两平面的共有线，,同时,交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求,两平面的,交线,方法：,确定两平面的,两个共有点。,确定,一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：,判别可见性。,40,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m,(,n,),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为,正垂面,，它们的正面投影都积聚成直线。,交线必为一条正垂线,，,只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,n,m,能否不用重影点判别？,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,41,42,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。,a,b,与,e,f,的交点,m,、,b,c,与,f,h,的交点,n,即为两个共有点的正面投影，故,m,n,即MN的正面投影,。,求交线,判别可见性,点在FH上，点在BC上，,点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,m,n,2,n,m,1,43,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。,所以ABC和DEF的交线应为MK。,n,n,m,k,m,k,互交,44,小 结,重点掌握,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的,两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是,如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，,尤其是特殊位置平面的投影特性。,45,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形,类似性,。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线,积聚性,。,另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形,实形性,。,另外两个投影积聚为直线。,46,二、平面上的点与直线,平面上的点,一定位于平面内的某条直线上,平面上的直线,过平面上的两个点。,过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。,三、平行问题,直线与平面平行,直线平行于平面内的一条直线。,两平面平行,必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,47,四、相交问题,求直线与平面的交点的方法,一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。,投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。,求两平面的交线的方法,两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。,48,特殊位置线面相交,特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的,积聚性投影,直接求出。（l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。（2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。,49,