单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,上海大学通信学院,第6节 随机变量及其分布,随机变量,离散性随机变量及其分布,连续性随机变量及其分布,随机变量的引入:,随机试验,E,基本事件e,随机事件A,样本空间,Se,?,数字,标记法,e与数,联系,(一)随机变量,把试验结果数值化,-样本空间数值化,E,2：,将一枚硬币抛两次,观察正反面的 出现情况；,S,2,:(H,T),(H,H),(T,H),(T,T),(二),样本空间-,随机试验E中，包括所有基本可能结果的集合,，,记为S。,随机试验,E,E,1:,抛一枚硬币,观察正面H,反面T出 现的情况。,样本空间,S,S,1,:H,T,E,5:,记录某一昼夜的最低温度x和最高 温度y。设这一地区的温度不会小于T,0,不会大于T,1,。,E,3：,掷一颗孤骰子，观察出现的点数；,E,4,：在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命；,S,5,:(x,y)T,0,xy0,为常数,则称X服从,泊松分布,记做 X P(,l),。,3.,泊松分布：,设随机变量,X,所有可能取值为,0,1,2,而各取值的概率为,显然:,泊松,定理表明，,泊松分布是二项分布的极限分布，,当,n,很大，,p,很小时，二项分布就可近似地,看成是参数,=np,的,泊松分布,例3.气象记录表明，某地在11月份的30天中，平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3天下雪的概率。,解：从11月份中任取一天，只有两种结果，下雪为1，不下雪为0，p0.1，用X表示11月份下雪的天数，,则XB(30,0.1)，可近似看作为XP(3),P(X3)P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3),(3,0,/0!3,1,/1!3,2,/2!3,3,/3!)e-313e-3,0.6473,随机变量的分布函数,一、分布函数的概念.,定义,设X是,随机变量，对任意实数x，,事件X,x,的概率,PX,x,称为随机变量X的分布函数。,记为F(x)，,F(x)P X,x.,易知，对任意实数a,b(ab),P aX,b,PX,bPX,a F(b)F(a).,二、分布函数的性质,1、,单调不减性,：若x,1,x,2,则F(x,1,),F(x,2,);,2、,归一,性,：对任意实数x，0,F(x),1，,且,3、,右连续性,：对任意实数x，,对离散型随机变量,XPX=x,k,p,k,k1,2,其分布函数为,例2:,设随机变量X的概率质量（密度）函数为:,X 0 1 2,P,求X的分布函数,F(x),并求,解:,由概率的有限可加性可得:,例2 小球一定落在一半径为2的,圆盘上，且其概率与该圆盘的面积成正比。以X表示质点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。,解:,x0,Xx,为不可能事件,Fx,=PX0=0,(2),0,x,2,P0,Xx=kx,2,;k为常数,令x=2,P0,X2=k2,2,=1,k=1/4,F（x）=PX0+,P0,X,2=x,2,/4,由该例,若令：,则可得:,即，,F(x),是非负函数,f(x),在,(-,x),上的积分,。,非负、,若 x 2，即 X,x 是必然事件，于是,Fx=PX,x=1,故,Homework,1-1621,（三）连续型随机变量的概率密度函数,定义,:,若对于随机变量,X,的分布函数,F(x),，,存在非负的函数,f(x),，,使得对于任意实数,x,有,则称,X,为连续随机变量,，其中,f(x),称为,X,的概率密度函数,。,连续随机变量概率密度函数,f(x),的性质,:,有关概率密度函数,f(x),的性质的说明:,性质(1)，(2)指明了概率密度函数的重要性质，(2)是求概率密度函数中未知参数的重要依据。,性质(3)：求随机变量落在某个区间上的概率,性质(4)：,已知分布函数,概率密度函数的重要方法。,三个重要的连续型随机变量的概率密度函数,1.,均匀分布,2.,指数分布,1,3.,正态,(,高斯,),分布,记做：XN(,2),F(,x-,)/),标准正态分布,正态分布的性质:,例3 随机变量x为N（1000，50）分布，试求小在900 到1050 范围内的概率。,解:,例4 电阻值r在900到1100间均匀分布，试求r在950 至1050 之间的概率。,解:,这个是要查表的吗？,混合型随机变量概率密度函数与分布函数,若引入 函数，则离散随机变量可表示为：,对于混合型随机变量有如下表示：,