单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、无穷区间的反常积分,第五章定 积 分,第四节反 常 积 分,二、无界函数的反常积分,一、无穷区间的反常积分第五章定 积 分第四节反 常 积,1,一、无穷区间的反常积分,例 1,求由曲线,y,=,e,-,x,，,y,轴及,x,轴所围成开口曲边梯形的面积.,解,这是一个开口曲边梯形，,为求其面积，任取,b,0,+,)，,在有限区间,0,b,上，,以曲线,y,=,e,-,x,为曲边的曲边梯形面积为,b,y,=,e,-,x,y,x,O,(0,1),开口曲边梯形的面积,一、无穷区间的反常积分例 1求由曲线 y=e-x，,2,y,=,e,-,x,y,x,b,O,(0,1),即,当,b,+,时,，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，,y=e-xyxbO(0,1)即当 b +时，阴,3,定义 1,设函数,f,(,x,),在,a,+,),上连续,，,取实数,b,a,，,如果极限,则称此极限为函数,f,(,x,),在无穷区间,a,+,),上的反常积分,，,这时也称,反常积分收敛,，,记作,即,存在,，,否则称,反常积分发散,.,定义 1设函数 f(x)在 a,+)上连续，,4,定义 2,设函数,f,(,x,),在,(-,b,上连续,，,取实数,a,b,，,如果极限,则称此极限值为函数,f,(,x,),在无穷区间,(-,b,上的反常积分,，,这时也称,反常积分收敛,，,记作,即,存在,，,否则称,反常积分发散,.,定义 2设函数 f(x)在(-,b 上连续，,5,定义 3,设函数,f,(,x,),在,(-,+,),内连续,，,且对任意实数,c,，,如果反常积分,则称上面两个反常函数积分之和为,f,(,x,),在无穷区间,(,-,+,),内的反常积分,，,这时也称反常积分收敛，,记作,即,都收敛,，,否则称反常积分发散.,定义 3设函数 f(x)在(-,+),6,若,F,(,x,)是,f,(,x,)的一个原函数，并记,则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为,若 F(x)是 f(x)的一个原函数，并记则定义 1，,7,例 2,求,解,例 3,判断,解,由于当,x,+,时,，sin,x,没有极限，所以反常积分发散.,例 2求解例 3判断解由于当 x +时，sin,8,例 4,计算,解,用分部积分法，得,例 4计算解用分部积分法，得,9,例 5,判断,解,故该积分发散.,例 5判断解故该积分发散.,10,例 6,证明反常积分,当,p,1 时，收敛；当,p,1 时，发散.,证,p,=,1 时，则,所以该反常积分发散.,例 6证明反常积分,11,当,p,1 时，,综合上述，,该反常积分收敛.,当,p,1 时，,该反常积分发散.,p,1 时，则,当 p 1 时，综合上述，该反常积分收敛.当 p 1,12,二、无界函数的反常积分,定义 4,设函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上连续,，,取,e,0，,如果极限,则称此极限值为函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上,的反常积分，,这时也称,反常积分收敛,，,否则称,反常积分发散,.,且,记作,即,存在,，,二、无界函数的反常积分定义 4设函数 f(x)在区间,13,定义 5,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,),上连续,，,取,e,0，,如果极限,则称此极限值为函数,f,(,x,),在区间,a,b,),上的反常积分,.,这时也称,反常积分收敛,，,否则称,反常积分发散,.,且,即,存在,，,定义 5设函数 f(x)在区间 a,b)上连续，,14,定义 6,设函数,f,(,x,)在,a,b,上除点,c,(,a,b,)外连续,，,如果下面两个反常积分,则称这两个反常积分之和为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的反常积分,，,这时也称,反常积分收敛,，,否则，称,反常积分发散,.,记作,即,都收敛,，,定义 6设函数 f(x)在 a,b上除点 c,15,若,F,(,x,)是,f,(,x,)的一个原函数，,则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为,若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则定义 4，5，,16,例 7,判断,解,故积分的收敛.,例 7判断解故积分的收敛.,17,例 8,讨论反常积分,解,当,p,=1 时，,则,故积分发散.,当,p,1 时,例 8讨论反常积分解当 p=1 时，则故积分发散.当,18,综上所述，得：当,p,1 时，该反常积分收敛，,综上所述，得：当 p 1 时，该反常积分收敛，,19,