单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,平面向量的数量积,2.4.1,平面向量数量积的,物理背景及其含义,问题提出,1.,向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为,0,，,90,，,180,时，这两个向量的位置关系如何？,2.,任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律,.,由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析,.,平面向量数量积的,物理背景及其含义,探究（一）,:,平面向量数量积的背景与含义,W,F,s,cos,思考,2,：,功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把,“,功,”,称为向量,F,与,s,“,数量积,”,.,一般地，对于非零向量,a,与,b,的数量积是指什么？,思考,1,：,如图，一个物体在力,F,的作用下产生位移,s,，且力,F,与位移,s,的夹角为,，那么力,F,所做的功,W,是多少？,s,F,思考,3,：,对于两个非零向量,a,与,b,，设其夹角为,，把,a,|,b,cos,叫做,a,与,b,的数量积（或内积），记作,a,b,，即,a,b,=,a,|,b,cos,.,那么,a,b,的运算结果是向量还是数量？,思考,4,：,特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？,0,a,=0,思考,5,：,对于两个非零向量,a,与,b,，其数量积,a,b,何时为正数？何时为负数？何时为零？,当,0,90,时，,a,b,0,；,当,90,180,时，,a,b,0,；,当,90,时，,a,b,0.,a,b,=,a,|,b,cos,思考,6,：,对于两个非零向量,a,与,b,，设其夹角为,，那么,a,cos,的几何意义如何？,a,b,O,A,B,A,1,思考,7,：,对于两个非零向量,a,与,b,，设其夹角为,，,a,cos,叫做向量,a,在,b,方向上的投影,.,那么该投影一定是正数吗？向量,b,在,a,方向上的投影是什么？,不一定；,b,cos,.,|,a,|cos,思考,8,：,根据投影的概念，数量积,a,b,=,a,|,b,cos,的几何意义如何？,数量积,a,b,等于,a,的模与,b,在,a,方向上的投影,b,cos,的乘积，或等于,b,的模与,a,在,b,方向上的投影,a,cos,的乘积,，,探究（二）：,平面向量数量积的运算性质,思考,1,：,设,a,与,b,都是非零向量，若,a,b,，则,a,b,等于多少？,反之成立吗？,a,b,a,b,0,思考,2,：,当,a,与,b,同向时，,a,b,等于什么？当,a,与,b,反向时，,a,b,等于什么？特别地，,a,a,等于什么？,当,a,与,b,同向时，,a,b,a,b,；,当,a,与,b,反向时，,a,b,a,b,；,a,a,a,2,a,2,或,a,.,思考,3,：,a,b,与,a,b,的大小关系如何？为什么？,a,b,a,b,思考,4,：,a,b,与,b,a,是什么,关系？为什么？,ab,ba,思考,5,：,对于实数,，,(,a,),b,有意义吗？它可以转化为哪些运算？,(,a,),b,(,a,b,),a,(,b,),思考,6,：,对于向量,a,，,b,，,c,，,(,a,b,),c,有意义吗？它与,a,c,b,c,相等吗？为什么？,A,1,B,1,A,B,O,C,a,b,c,a,b,1,2,思考,7,：,对于非零向量,a,，,b,，,c,，,(,a,b,),c,有意义吗？,(,a,b,),c,与,a,(,b,c,),相等吗？为什么？,(,a,b,),c,a,(,b,c,),思考,8,：,对于非零向量,a,，,b,，,c,，若,a,b,a,c,，那么,b,c,吗？,思考,9,：,对于向量,a,，,b,，等式,(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,和,(,a,b,)(,a,b,),a,2,b,2,是否成立？为什么？,思考,10,：,对于向量,a,，,b,，如何求它们的夹角,？,理论迁移,例,1,已知,a,5,，,b,4,，,a,与,b,的夹角为,120,，求,a,b,.,10,例,2,已知,a,6,，,b,4,，,a,与,b,的夹角为,60,，求,(,a,2,b,)(,a,3,b,),.,72,例,3,已知,a,3,，,b,4,，且,a,与,b,不共线,.,求当,k,为何值时，向量,a,k,b,与,a,k,b,互相垂直？,小结作业,1.,向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量,.,2.,实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非,.,3.,利用,a,可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法,.,4.,利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用,.,作业：,P108,习题,2.4A,组：,1,，,2,，,3,，,6,，,7,，,8.,