单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.几何概型,假设每个大事发生的概率只与构成该大事区域的_,_(_或_)成比例,则称这样的概率模型为几何,概率模型,简称为_.,2.几何概型中,大事A的概率计算公式,P(A)=.,几何概型,长,度,面积,体积,几何概型,根底学问 自主学习,3.要切实理解并把握几何概型试验的两个根本特点:,(1)无限性：在一次试验中,可能消失的结果有无限,多个；,(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.,4.几何概型的试验中,大事A的概率P(A)只与子区域A,的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位,置和外形无关.,5.求试验中几何概型的概率,关键是求得大事所占区,域和整个区域 的几何度量,然后代入公式即可求,解.,1“概率为1的大事肯定是必定大事，概率为0的大事肯定是不行能大事”，这个说法正确吗？,【提示】不正确假设随机大事所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它的概率为0，大事可能发生，所以概率为0的大事不肯定是不行能大事；假设一个随机大事所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为1，但它不是必定大事,2古典概型与几何概型有哪些异同点？,【提示】古典概型与几何概型中根本大事发生的可能性都是相等的，但古典概型要求根本大事有有限个，而几何概型的根本大事有无限个,题型一 与长度有关的几何概型,【例1】有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段,不小于3米的概率有多大？,从每一个位置剪断都是一个根本大事,基,本大事有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 记“剪得两段都不小于3米”为大事A,从木棍的,两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在中,间的4米长的木棍处剪都能满足条件,所以,从该题可以看出,我们将每个大事理解为,从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每,一点被取到的时机都一样.而一个随机大事的发生则,理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.,探究提高,知能迁移1 平面上有一组平行线,且相邻平行线间,的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在,这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率,是 (),A.B.C.D.,解析 如下图,这是长度型几何概型问题,当硬币,中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相,碰,故所求概率为,B,题型二 与面积,(,或体积,),有关的几何概型,在边长为,2,的正,ABC,内任取一点,P,则使点,P,到三个顶点的距离至少有一个小于,1,的概率,是,_.,解析,以,A,、,B,、,C,为圆心,以,1,为半,径作圆,与,ABC,交出三个扇形,当,P,落在其内时符合要求,.,题型三 与角度有关的几何概型,【例3】在RtABC中,A=30,过直角顶点C作射,线CM交线段AB于M,求使|AM|AC|的概率.,如下图,由于过一,点作射线是均匀的,因而应把在,ACB内作射线CM看做是等可能,的,根本大事是射线CM落在ACB内任一处,使,|AM|AC|的概率只与BCC的大小有关,这符合,几何概型的条件.,思维启迪,解 设大事D为“作射线CM,使|AM|AC|”.,在AB上取点C使|AC|=|AC|,由于ACC是等,腰三角形,所以,几何概型的关键是选择“测度”,如本例,以角度为“测度”.由于射线CM落在ACB内的任意,位置是等可能的.假设以长度为“测度”,就是错误的,由于M在AB上的落点不是等可能的.,探究提高,知能迁移3 在圆心角为90的扇形AOB中,以圆心O,为起点作射线OC,求使得AOC和BOC都不小于,30的概率.,解 如下图,把圆弧AB三等分,则,AOF=BOE=30,记A为“在扇,形AOB内作一射线OC,使AOC和,BOC都不小于30”,要使AOC和BOC都不小,于30,则OC就落在EOF内,题型四 可化为几何概型的概率问题,【例4】甲、乙两人商定在6时到7时之间在某处会面,并商定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.,求两人能会面的概率.,在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达,约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用,0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵,轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、,乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会,面的时间由|x-y|15所对应的图中阴影局部表示.,思维启迪,解 以x轴和y轴分别表示甲、乙,两人到达商定地点的时间,则两人,能够会面的充要条件是|x-y|15.,在如下图平面直角坐标系下,(x,y)的全部可能结果是边长为60的正方形区域,而事,件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影局部,表示.,由几何概型的概率公式得：,所以,两人能会面的概率是,探究提高 (1)甲、乙两人都是在67时内的任意时,刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用,x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中,正方形内的任一点.,(2)找出大事A发生的条件,并把它在图中的区域找出,来,分别计算面积即可.,(3)此题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表,示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问,题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积,型几何概型的问题.,1.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区分,是试验的可能结果不是有限个.它的特点是试验结果,在一个区域内均匀分布,所以随机大事的概率大小与,随机大事所在区域的外形位置无关,只与该区域的大,小有关.,2.几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技,巧,必需娴熟把握.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,几何概型具有无限性和等可能性两个特点.无限性是,指在一次试验中,根本大事的个数可以是无限的；等,可能性是指每一个根本大事发生的可能性是均等的.,因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路,是一样的,同属于“比例解法”,即随机大事A的概率,可以用“大事A包含的根本大事所占的图形长度(面积,或体积)”与“试验的根本大事所占总长度(面积或体,积)”之比来表示.,失误与防范,一、选择题,1.,在长为,12 cm,的线段,AB,上任取一点,M,并以线段,AM,为边作正方形,则这个正方形的面积介于,36 cm,2,与,81 cm,2,之间的概率为,(),A.B.C.D.,解析,面积为,36 cm,2,时,边长,AM,=6,面积为,81 cm,2,时,边长,AM,=9,A,定时检测,2.,在区域 内任取一点,P,则点,P,落在单,位圆,x,2,+,y,2,=1,内的概率为,(),A.B.C.D.,解析,区域为,ABC,内部,(,含边界,),则概率为,D,3.,在面积为,S,的,ABC,的边,AB,上任取一点,P,则,PBC,的面积大于 的概率是,(),A.B.C.D.,解析,由,ABC,PBC,有公共底边,BC,所以只需,P,位,于线段,BA,靠近,B,的四分之一分点,E,与,A,之间,这是一个,几何概型,C,4.正三棱锥SABC的底面边长为4,高为3,在正,三棱锥内任取一点P,使得VPABC VSABC的概率,是 (),A.B.C.D.,解析 当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三,棱台内时符合要求,由几何概型知,A,5.(2023辽宁)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB,的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O,的距离大于1的概率为 (),A.B.C.D.,解析 如图,要使图中点到O的,距离大于1,则该点需取在图中阴,影局部,故概率为,B,6.(2023山东)在区间 上随机取一个,数x,cos x的值介于0到 之间的概率为(),A.B.C.D.,解析,A,二、填空题,7.(2023江苏)在平面直角坐标系xOy中,设D是横,坐标与纵坐标确实定值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随,机投一点,则落入E中的概率为_.,解析 如下图,区域D表示边长,为4的正方形的内部(含边界),区,域E表示单位圆及其内部,8.函数f(x)=假设a是从区间0，2上任取,的一个数,b是从区间0,2上任取的一个数,则此函,数在1,+)递增的概率为_.,解析 令t=ax2-bx+1,函数f(x)在1,+)上递增,根,据复合函数单调性的推断方法,则t=ax2-bx+1须在,1,+)上递增,由题意得 画出图示得,阴影局部面积.,概率为,答案,9.(2023福建)点A为周长等于3的圆周上的一个定,点.假设在该圆周上随机取一点B,则劣弧 的长度小,于1的概率为_.,解析 圆周上使弧 的长度为1的点M有两个,设,为M1,M2,则过A的圆弧 的长度为2,B点落在,优弧 上就能使劣弧 的长度小于1,所以劣弧,的长度小于1的概率为,三、解答题,10.如下图,在单位圆O的某始终径上随机的取一点,Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的,概率.,解 弦长不超过1,即|OQ|而Q点在直径AB,上是随机的,大事A=弦长超过1.,由几何概型的概率公式得,弦长不超过1的概率为,答 所求弦长不超过1的概率为,11.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的,正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0,两个面标的数字是2,两个面标的数字是4,将此玩具,连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点P,的横坐标和纵坐标.,(1)求点P落在区域C：x2+y210内的概率；,(2)假设以落在区域C上的全部点为顶点作面积最大的,多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落,在区域M上的概率.,解,(1),以,0,、,2,、,4,为横、纵坐标,的点,P,共有,(0,0),、,(0,2),、,(0,4),、,(2,0),、,(2,2),、,(2,4),、,(4,0),、,(4,2),、,(4,4),共,9,个,而这些点中,落在区域,C,内的点有：,(0,0),、,(0,2),、,(2,0),、,(2,2),共,4,个,所求概率为,(2),区域,M,的面积为,4,而区域,C,的面积为,所求概率为,12.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船,的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.,(1)假设甲船和乙船的停靠时间都是4小时,求它们中,的任何一条船不需要等待码头空出的概率；,(2)假设甲船的停靠时间为4小时,乙船的停靠时间为,2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出,的概率.,解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y,则0 x24,0y24且y-x4或y-x-4.,作出区域,设“两船无需等待码头空出”,为大事A,(2)当甲船的停靠时间为4小时，,乙船的停靠时间为2小时,两船不,需等待码头空出,则满足x-y2,或y-x4,设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为大事,B,画出区域,返回,