单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.4,角平分线的性质,第,1,章 直角三角形,第,2,课时 角平分线的性质定理的逆定理,导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.4角平分线的性质第1章,学习目标,1.,理解角平分线性质定理的逆定理,.(,难点）,2.,掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题,.,（重点）,3.,学会判断一个点是否在一个角的平分线上,.,学习目标1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）,导入新课,复习回顾,O,D,P,P,到,OA,的距离,P,到,OB,的距离,角平分线上的点,几何语言描述：,OC,平分,AOB,，,且,PD,OA,，,PE,OB,.,PD=PE.,A,C,B,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,1.,叙述,角平分线的性质定理,不必再证全等,E,导入新课复习回顾ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上,2.,我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等,.,那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,.,2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的,讲授新课,角平分线的性质定理的逆定理,一,P,A,O,B,C,D,E,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,问题：,交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题正确吗？,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,OC,平分,AOB,，,且,PDOA,，,PEOB,PD=PE,几何语言：,猜想,:,思考：这个命题正确吗？,讲授新课角平分线的性质定理的逆定理一PAOBCDE角的内部到,已知：如图，,PD,OA,，,PE,OB,，,垂足分别是,D,、,E,，,PD=PE,.,求证：点,P,在,AOB,的平分线上,.,证明：,作射线,OP,，,点,P,在,AOB,的平分线上,.,在,Rt,PDO,和,Rt,PEO,中，,（全等三角形的对应角相等）,.,OP=OP,（公共边），,PD=PE,（已知），,B,A,D,O,P,E,PD,OA,PE,OB.,PDO,=,PEO,=90,，,Rt,PDO,Rt,PEO,（,HL,）,.,AOP,=,BOP,证明猜想,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=,角平分线性质定理的逆定理：,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,.,P,A,O,B,C,D,E,应用所具备的条件：,（,1,）,位置关系：,点在角的内部,；,（,2,）,数量关系：,该点到角两边的距离相等,.,定理的作用：,判断点是否在角平分线上,.,应用格式：,PD,OA,PE,OB,，,PD=PE.,点,P,在,AOB,的平分线上,.,知识总结,角平分线性质定理的逆定理：PAOBCDE应用所具备的条件：（,典例精析,例,1,：,如图，要在,S,区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为,500,米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为,120000,）,？,D,C,S,解：作夹角的角平分线,OC,，,截取,OD,=2.5cm,D,即为所求,.,O,方法点拨：,根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点,.,典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公,活动,1,分别画出下列三角形三个内角的平分线,，你发现了什么？,三角形的内角平分线,二,发现：三角形的三条角平分线相交于一点,活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三,活动,2,分别,过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？,发现：过交点作三角形三边的垂线段相等,你能证明这个结论吗？,活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂,已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,，,CN,相交于点,P,，,求证：点,P,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,证一证,证明：过点,P,作,PD,，,PE,，,PF,分别垂直于,AB,，,BC,，,CA,，垂足分别为,D,，,E,，,F,.,BM,是,ABC,的角平分线，,点,P,在,BM,上，,PD=PE,.,同理,PE=PF,.,PD=PE=PF,.,即点,P,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,D,E,F,A,B,C,P,N,M,已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，证一证证,想一想：,点,P,在,A,的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线有什么关系？,点,P,在,A,的平分线上,.,结论：,三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等,.,D,E,F,A,B,C,P,N,M,想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线,M,E,N,A,B,C,P,O,D,变式,1,：,如图，在ABC中，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,(1)求点O到ABC三边的距离和.,温馨提示：,不存在垂线段构造应用,12,MENABCPOD变式1：如图，在ABC中，AP平分BA,解：连接OC，过,O,作,ON,BC,，,OE,AB,，垂足分别为,N,，,E.,M,E,N,A,B,C,P,O,D,变式,1,：,如图，在ABC中，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,OM4,.,(2)若ABC的,周长,为32，求ABC的,面积,.,解：连接OC，过O作ONBC，OEAB，垂足分别为N，E,2,.,联系角平分线性质：,距离,面积,周长,知识与方法,1.,应用角平分线性质：,存在,角平分线,涉及,距离问题,条件,2.联系角平分线性质：距离面积周长知识与方法1.应用角平分线,例,2,如图，,在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为(),A110 B120 C130 D140,A,解析：,由已知，,O,到三角形三边的距离,相等，所以O是三条内角平分线,的交点，AO，BO，CO都是角平分线，,所以有CBOABO ABC，,BCOACO ACB，,ABCACB18040140，,OBCOCB70，,BOC18070110.,例2 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到,由已知，,O,到三角形三边的距离相等，得,O,是三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的度数,方法总结,由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三条内角平,归纳总结,角的平分线的,性质,P,C,P,C,OP,平分,AOB,PDOA,于,D,PEOB,于,E,PD=PE,OP,平分,AOB,PD=PE,PDOA,于,D,PEOB,于,E,角的平分线的,判定,归纳总结角的平分线的性质PCPCOP平分AOBPDOA于,当堂练习,1.,如图，某个居民小区,C,附近有三条两两相交的道路,MN,、,OA,、,OB,，,拟在,MN,上建造一个大型超市，使得它到,OA,、,OB,的距离相等，请确定该超市的位置,P,.,小区,C,P,A,O,B,M,N,当堂练习1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路M,2.,如图所示，已知,ABC,中，,PEAB,交,BC,于点,E,，,PFAC,交,BC,于点,F,，,点,P,是,AD,上一点，且,点,D,到,PE,的距离与到,PF,的距离相等，判断,AD,是否平分,BAC,，并说明理由,解：,AD,平分,BAC,理由如下：,D,到,PE,的距离与到,PF,的距离相等，,点,D,在,EPF,的平分线上,1,2,又,PEAB,，,1,3,同理，,2,4,3,4,，,AD,平分,BAC,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,3,4,1,2,P,2.如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PF,3.,已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCN.,证明：OD平分POQ，,AOD=BOD.,在AOD与BOD中，,OA=OB，AOD=BOD，OD=OD，,AOD,BOD.,ADO=BD,O,.,CMAD，CNBD，,CM=CN.,3.已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAO,4.,如图，已知,CBD,和,BCE,的平分线相交于点,F,，,求证：点,F,在,DAE,的平分线上,证明：,过点,F,作,FG,AE,于,G,，,FH,AD,于,H,，,FM,BC,于,M,.,点,F,在,BCE,的平分线上，,FG,AE,，,FM,BC.,FG,FM,.,又点,F,在,CBD,的平分线上，,FH,AD,，,FM,BC,，,FM,FH,，,FG,FH,.,点,F,在,DAE,的平分线上,.,G,H,M,A,B,C,F,E,D,4.如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F，证明：过,拓展思维,5.,如图,直线,l,1,、,l,2,、,l,3,表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处,?,画出它的位置,.,拓展思维5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公,P,1,P,2,P,3,P,4,l,1,l,2,l,3,P1P2P3P4l1l2l3,课堂小结,角平分线,的判定定理,内容,角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,作用,判断一个点是否在角的平分线上,结论,三角形的内角平分线相交,于,内部一点,课堂小结角平分线内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平,