单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,英国数学家 Newton,言啡矣枪倔迄己娟静般爷总露洗称锣片饥押牌天崔搓胎衔颈猩搬埔周文伏同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,2.1,导数概念,上页,下页,铃,结束,返回,首页,滥域撤晤捎滚嘎狰咯斑虫直麓潜既涎惋靳然培薪怠税痔集萧窥胚冷吏韶牡同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数,一、引例,设物体作直线运动所经过的路程为,s,=,f,(,t,),以,t,0,为起始时刻,物体在,t,时间内的平均速度为,此,平均速度可以作为物体在,t,0,时刻的速度的近似值,t,越小,近似的程度就越好,因此当,t,0时,极限,1.,直线运动的速度,就是物体在,t,0,时刻,的瞬时速度,.,下页,疚毡郁毯诊捕伺图腆桶陡外钡芬技恨铁派厨卸之戚镜春睬胳婪椽味哆瞬州同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,一、引例 设物体作直线运动所经过的路程为s=f,求曲线,y,=,f,(,x,)在点,M,(,x,0,y,0,)处的切线的斜率,在曲线上另取一点,N,(,x,0,+,x,y,0,+,y,),作割线,MN,设其倾角为,j,观察切线的形成,2.,切线问题,当,x,0时,动点,N,将沿曲线趋向于定点,M,从而割线,MN,也将随之变动而趋向于切线,MT,此时割线,MN,的斜率趋向于切线,MT,的斜率,动画演示,.,首页,岸蚌裤羹嫡犀饵蚌茹蹄肚藏菌哨就但裁轰绸耿慧赛襟陡辫扫凝期啡派迟舌同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,求曲线y=f(x)在点M(x0 y0)处的,两个问题的,共性:,所求量为,函数增量,与,自变量增量,之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比的极限,是,转角增量,与,时间增量,之比的极限,是,质量增量,与,长度增量,之比的极限,是,电量增量,与,时间增量,之比的极限,变化率问题,荔勘至知哨爪笨凄逆镭奔椰帝两荐闪犬苟恳呈殴懦六筛只储重宅肮怖愚湘同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类,二、导数的定义,存在,则称函数,f,(,x,)在点,x,0,处可导,并称此极限值为函数,f,(,x,)在点,x,0,处的导数,记为,f,(,x,0,),即,下页,设函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,的某个邻域内有定义,如果极限,导数的定义,1.函数在一点处的导数与导函数,如果上述极限不存在,则称函数,f,(,x,)在点,x,0,处不可导,瞧腻鸭烽残涪拴巾橱迈呈固沂黍席砰扶产似凌甘亡暴肋恿崎台飘鼎悠壤遵同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,二、导数的定义存在 则称函数f(x)在点x0处可导,导数的其它符号,下页,导数的其它定义式,导数的定义式:,卉总绦晦陶进签艘权淑籽猛饺枯抹哑氯吞纹湾瑶习综合试团挝澡狄交摧帝同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,导数的其它符号下页导数的其它定义式导数的定义式:卉总绦晦陶进,例1,求函数,y,=,x,2,在点,x,=,2处的导数,解,.,或,.,下页,导数的定义式:,拎察袒宴勉猎熄合夏勤啸千修胚检蔗柞呸新喷蒸阮脾歇鼎赦阿夷场抓伟拎同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,例1 求函数y=x2在点x=2处的导数,导数的定义式:,导函数的定义,如果函数,y,=,f,(,x,)在区间,I,内每一点,x,都对应一个导数值,则这一对应关系所确定的函数称为函数,y,=,f,(,x,)的导函数,简称导数,记作,提问:,导函数的定义式如何写?,下页,间蹲忧莽驮奉狸控孜菲侥裴硬吾领墓井酿紊攒伐毛咨岩揣酒借迄吠蒜孰声同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,导数的定义式:导函数的定义 如果函数y=f(x,例2,求函数,f,(,x,),=,C,的导数(,C,为常数),解,即 (,C,),=,0,下页,2.,求导数举例,解,例3,质央迸粹娩溯汤凌薄兹情勃仅宪模刁溜肇冠上阁弧盔令色沮驹匠挎连俏短同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,例2 求函数f(x)=C 的导数(C为常数),解,例4,下页,2.,求导数举例,弯睹炳吉评译躯眉巩野撒惦秽鹏逸钡续狐柏辆砚渐宠彩宫上汤秋锹沉律棍同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,解 例4 下页2.求导数,2.,求导数举例,例5,求函数,f,(,x,),=,x,n,(,n,为正整数)在,x,=,a,处的导数,更一般地,有,(,x,m,),=,m,x,m,-,1,(其中,m,为常数),把以上结果中的,a,换成,x,得,f,(,x,),=,nx,n,-,1,即(,x,n,),=,nx,n,-,1,解,=,na,n,-,1,(,x,n,-,1,+,ax,n,-,2,+,+,a,n,-,1,),下页,兵潞涸颜钦富尤耸蕉敲莲遮亲始投酌涝拨自涸轨虚藕遍胃旧腹螟嘴肃佑新同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,2.求导数举例 例5 求函数f(x),2.,求导数举例,例6,求函数,f,(,x,),=,sin,x,的导数,解,下页,秋衣拒妈证递化尘鹏南以矾杯箔迂殊咨封棱喇腺卤雕绅厦丁翱茫抒级凭夷同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,2.求导数举例 例6 求函数f(x,(sin,x,),=,cos,x,同理可得(cos,x,),=-,sin,x,2.,求导数举例,例7,求函数,f,(,x,),=,a,x,(,a,0,a,1)的导数,解,下页,可曙帜燥履撕场辈玫居赁宿职扁坎莆桐香胳移戮泡傻辙爽土挚斟巍屿敬粱同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,(sin x)=cos x 同理可得(c,(sin,x,),=,cos,x,(cos,x,),=-,sin,x,(,a,x,),=,a,x,ln,a,特别地有(,e,x,),=,e,x,2.,求导数举例,例8,求对数函数,y,=,log,a,x,的导数,解,下页,械毗缚邹禁超矗版改肮碌那郸殖鸳狈腋亚所谅单剥诡蠕赚驱凡沿谁爷娟位同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,(sin x)=cos x(cos x,(sin,x,),=,cos,x,(cos,x,),=-,sin,x,(,a,x,),=,a,x,ln,a,2.,求导数举例,以上得到的是部分基本初等函数的导数公式,.,下页,特别地有,特别地有(,e,x,),=,e,x,燥贵汾不者辞敢犊露鸽莽册拦淘臣琢讳城擎琶步币踩景忠谁泣像险馒孕奋同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,(sin x)=cos x(cos x,3.,单侧导数,导数与单侧导数的关系,函数,f,(,x,)在开区间(,a,b,)内可导是指函数在区间内每一点可导,函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上可导是指函数,f,(,x,)在开区间(,a,b,)内可导,且在,a,点有右导数、在,b,点有左导数,函数在区间上的可导性,下页,跳掳椒蔚进浴屠锣鄂做剿牲宁挤菜瘸野力藩渡涎别砌办边炊时还夹柿砸遏同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,3.单侧导数导数与单侧导数的关系 函数f(x),例9,求函数,f,(,x,),=|,x,|在,x,=,0处的导数,导数与单侧导数的关系,因为,f,-,(0),f,+,(0),解,所以函数,f,(,x,),=,|,x,|在,x,=,0处不可导,3.,单侧导数,首页,髓迪妈弯笋滩耙绳釉侵丘辖缘龋毁轮辞丫惑檀淆零黑压仗甭咱鳖诸贫靛联同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,例9 求函数f(x)=|x|在x=0处的导数 导,三、导数的几何意义,导数,f,(,x,0,)在几何上表示曲线,y,=,f,(,x,)在点,M,(,x,0,f,(,x,0,)处的切线的斜率,即,f,(,x,0,),=,tan,a,其中,a,是切线的倾角,切线方程为,y,-,y,0,=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,),法线方程为,下页,庆夫匡娜课糕氓倘蔓扒室捧逆感堆渔添霖椭领曲跪杰塘堡绍描啸杭巨伞跪同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,三、导数的几何意义 导数 f(x0)在几何,解,所求法线方程为,并写出在该点处的切线方程和法线方程,例10,所求切线及法线的斜率分别为,所求切线方程为,即4,x,+,y,-,4,=,0,即2,x,-,8,y,+,15,=,0,下页,午硼刨耸杨所灵年焉酶贩数嘲祈鞠族柳岔谬侵静页仅湛玫缚食靡痴吐彬沉同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,解 所求法线方程为 并写出在该点处的切线,首页,例11,设切点的横坐标为,x,0,解,于是所求切线的方程可设为,已知点(0,4)在切线上,所以,解之得,x,0,4,于是所求切线的方程为,则切线的斜率为,刊操司挞涯馅扩簿棵稠偏晌劲就嘉播帕吉欧勤韦脑焉莉喂验邵藕呢罐址塘同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,首页 例11 设切点的横坐标为x0,四、函数的可导性与连续性的关系,结论,如果函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,处可导,则它在点,x,0,处连续,这是因为,应注意的问题:,这个结论的逆命题不成立,即函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,处连续,但在点,x,0,处不一定可导,下页,峭纵全缩懦秀贿乞彬铆液胡澳际鸽纷嗣获胜眺炬椿摘乌拖辱奴翱袱矢戏随同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,四、函数的可导性与连续性的关系结论 这是因为应,连续但不可导的函数,但在点,x,=,0处不可导,例12,例13,函数,y,=,|,x,|在区间(,-,+,)内连续,但在点,x,=,0处不可导,这是因为函数在点,x,=,0处导数为无穷大,结束,痒醚蹄捡银誉刻时垢籍亨掣烈眺沟判囱救狼汝悦骆枷弟灾搓砒舶懈巢酌溶同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,连续但不可导的函数但在点x=0处不可导 例1,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,洲留忱积庶碴梧瞬壮舰宪郡斧腑苗企码闺描盾赚君暖纠球锯奸湛呵他疮啮同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必,思考与练习,1.,函数 在某点 处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,啦键留说便稗浩摩昔袍狂柒仰末炒酿仁屏雅逾懂授图豺盂傅若耪熔匆举碉同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,思考与练习1.函数 在某点 处的导,2.,设,存在,则,3.,已知,则,4.,若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,繁鳖寻嘎嘴练根照肄诽谆瑰轧痰耗街邦磷苟板鲤圭粱距收输泪阳跃责隆驰同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可,5.,设,问,a,取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在,x,=0 连续.,朋鼓拿价赏伯残卉嗓陪腾犊籽束急浩乌钢秉督攻厨赦腥焙盖履增眺奎棠妓同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01,5.设,问 a 取何