单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,三角形的中位线,1,三角形的中位线1,回顾与联想：,ABCD,(1),ABCD,BCAD,(2),AB=CD,，,BC=AD,(4),A=C,，,B=D,(5),AO=OC,BO=OD,(3),ABCD,AB=CD,A,B,C,D,O,平行四边形的判定方法,2,回顾与联想：ABCD(1)ABCD,BCAD(2,A,。,。,B,A,、,B,两点被池塘隔开，现在要测量出,A,、,B,两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？,这堂课，我们将教大家一种测量的方法。,3,A 。BA、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的,连结三角形两边中点的线段叫,三角形的中位线,三角形有,三条,中位线,D,、,E,分别为,AB,、,AC,的中点,DE,为,ABC,的中位线,三角形的,中位线,和三角形的,中线,是否相同？,注意,DF,、,EF,也为,ABC,的中位线,E,D,F,A,C,B,定义,画出,ABC,中所有的中,位,线,4,连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形有三条中位线,注意：,三角形的,中位线,是连结三角形,两边中点,的线段,三角形的,中线,是连结,一个顶点,和,它的对边中点,的线段,区分三角形的中位线和中线：,理解三角形的中位线定义的,两层,含义,:,DE,为,ABC,的中位线,D,、,E,分别为,AB,、,AC,的中点,DE,为,ABC,的中位线,D,、,E,分别为,AB,、,AC,的中点,一个三角形共有,三,条中位线。,定义,A,B,C,D,。,。,E,。,F,5,注意：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段三角形的,在,ABC,中，中位线,DE,和边,BC,什么关系,?,DE,和边,BC,关系,数量关系：,位置关系：,DEBC,A,B,C,D,E,平行,DE,是,BC,的一半,观察猜想,6,在ABC中，中位线DE和边BC什么关系?DE和,如图，点,D,、,E,分别是,ABC,的边,AB,、,AC,的中点，求证,DE,BC,且,DE=BC,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,F,证明：延长,DE,到,F,使,EF=DE,连接,FC,、,DC,、,AF,四边形,ADCF,是平行四边形,四边形,DBCF,是平行四边形,AE=EC,CF,DA,，,CF=DA,CF,BD,，,CF=BD,DF,BC,，,DF=BC,又,DE=DF,DE,BC,且,DE=BC,想一想：还可以怎样做辅助线？,7,如图，点D、E分别是ABC的边AB、AC,三角形的中位线,平行,于第三边，且,等于,第三边的,一半,用符号语言表示,D,A,B,C,E,DE,是,ABC,的中位线,DEBC,，,DE=BC.,2,1,三角形中位线定理,证明,平行,问题,证明一条线段是另一条线段的,两倍,或,一半,适用范围,:,8,三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的,A,。,。,B,C,。,D,。,。,E,如图，在,A,、,B,外选一点,C,，连结,AC,和,BC,，,并分别找出,AC,和,BC,的中点,D,、,E,，如果能测量出,DE,的长度，也就能知道,AB,的距离了。,9,A 。BC。D。如图，在A、B外选一点C，连结AC和,1.,三角形各边的长分别为,6 cm,、,8 cm,和,10 cm,，求连接各边中点所成三角形的周长,.,A,B,C,D,E,F,6 cm,8 cm,10 cm,AB=10 cm,BC=8 cm,AC=6 cm,EF=5 cm,DF=4 cm,DE=3 cm,12 cm,练一练,10,1.三角形各边的长分别为6 cm、8 cm 和 10,三角形三条中位线所围成三角形周长是,原三角形周长的一半,11,三角形三条中位线所围成三角形周长是原三,例,1,、,如图，在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点。四边形,EFGH,是平行四边形吗？为什么？,A,B,C,D,E,F,G,H,解：四边形,EFGH,是平行四边形,.,连接,AC,，在,ABC,中，,因为,E,、,F,分别是,AB,、,BC,边的中点，即,EF,是,ABC,的中位线,.,所以,EF/AC,，,EF=AC,在,ADC,中，同理可得,HG/AC,，,HG=AC,所以,EF/HG,，,EF=HG,所以四边形,EFGH,是平行四边形,2,1,2,1,12,例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、B,有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形,有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线,温馨提示：,顺次连接,四边形各边中点,的线段组成一个,平行四边形,13,有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形有三角形而无中,例,2,：已知,:E,为平行四边形,ABCD,中,DC,边的延长,线上一点,且,CE=DC,连结,AE,分别交,BC,、,BD,于,点,F,、,G,，连接,AC,交,BD,于,O,，连结,OF.,求证,:AB=2 OF,A,D,B,C,E,G,F,O,提示,:,证明,ABF ECF,得,BF=CF,再证,OF,是,ABC,的中位线,.,14,例2：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长ADBCEG,例,3,：已知,ABCD,中，,AC,、,BD,相交于点,O,，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,OB,、,CD,、,OD,的中点。求 证：,HEF,FGH,。,15,例3：已知 ABCD中，AC、B,1,已知：如图，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点求证：四边形,EFGH,是平行四边形,课堂练习,提示,:,连接,AC,或,BD,16,1已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的,2,、,ABC,中，,D,是,AB,中点，,E,是,AC,上的点，且,3,AE,=2,AC,，,CD,、,BE,交于,O,点,.,求证：,OE,=,BE,.,课堂练习,提示,:,取,AE,的中点,F,，连接,DF,17,2、ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2A,总结,通过这节课的学习你有哪些收获？,18,总结通过这节课的学习你有哪些收获？18,1.,三角形的中位线定义,.,2.,三角形的中位线定理,.,3.,三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线,.,4.,线段的倍分,要转化为相等问题来解决,.,小结,19,1.三角形的中位线定义.2.三角形的中位线定理.3.三角形的,证法四：,如图，过,E,作,AB,的平行线交,BC,于,F,，自,A,作,BC,的平行线交,FE,于,G,AGBCEAG=ECF,AEGCEFAG=FC,，,GE=EF,又,ABGF,，,AGBF,四边形,ABFG,是平行四边形,BF=AG=FC,，,AB=GF,又,D,为,AB,中点，,E,为,GF,中点，,DB=EF,四边形,DBFE,是平行四边形,DEBF,，即,DEBC,，,DE=BF=FC,即,DE=1/2BC,A,B,C,E,D,F,G,20,证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行,过,D,作,DEBC,，交,AC,于,E,点,D,为,AB,边上的中点,所以,DE,与,DE,重合，因此,DEBC,同样过,D,作,DFAC,，交,BC,于,F,BF=FC=1/2BC (,经过三角形一边的中点与,另一边平行的直线必平分第三边,),四边形,DECF,是平行四边形,DE=FC DE=1/2BC,E,是,AC,的中点（经过三角形一,边的中点与另一边平行的直线必,平分第三边）,A,B,C,D,E,E,F,证明：,21,过D作DEBC，交AC于E点D为AB边上的中点所以D,三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。,如果,DE,是,ABC,的中位线,那么,DEBC,，,DE=1/2BC,证明,平行,问题,证明一条线段是另一条线段的,2,倍,或,1/2,用 途,A,B,C,D,E,22,三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半,1.,如图,1,：在,ABC,中，,DE,是中位线,（,1,）若,ADE=60,，,则,B=,度，为什么？,（,2,）若,BC=8cm,，,则,DE=,cm,，为什么？,2.,如图,2,：在,ABC,中，,D,、,E,、,F,分别,是各边中点,AB=6cm,，,AC=8cm,，,BC=10cm,，,则,DEF,的周长,=,cm,图,1,图,2,60,4,12,A,B,C,D,。,。,E,B,A,C,D,。,。,E,。,F,5,4,3,23,1.如图1：在ABC中，DE是中位线2.如图2：在ABC,3.,梯形,ABCD,中,ADBC,，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,A,、,B,、,C,、,D,分别是,AO,、,BO,、,CO,、,DO,中点，则四边形,A,B,C,D,是,_,若梯形,ABCD,周长为,10,，由四边形,A,B,C,D,的周长为,_,A,B,C,D,O,A,B,C,D,梯形,5,24,3.梯形ABCD中ADBC，对角线AC、BD相交于点O，,A,。,。,B,C,。,D,。,。,E,4.,在,A,、,B,外选一点,C,，连结,AC,和,BC,，并分别找出,AC,和,BC,的中点,D,、,E,，如果能测量出,DE,的长度，,也就能知道,AB,的距离了。为什么？如果测的,DE,=20m,，,那么,A,、,B,两点间的距离是多少？为什么？,20,40,随着学习的不断深入，同学们将会有更多的办法来解决这个问题,25,A 。BC。D。4.在A、B外选一点C，连结AC和,进入几何画板,顺次连结一个四边形各边中点，会得到什么样的图形呢？,26,进入几何画板顺次连结一个四边形各边中点，会得到什么样的图形呢,例,1,例,1.,求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形,求证：,四边形,EFGH,是平行四边形,A,D,C,B,E,F,G,H,证明,:,连结,AC,AH=HD CG=GD,HGAC,(,三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半,),同理,EFAC,HGEF,且,HG=EF,四边形,EFGH,是平行四边形,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点,.,已知,：,在四边形,ABCD,中,E.F.G.H,27,例1例1.求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平,A,B,C,D,E,G,H,F,D,C,B,A,H,G,F,E,在四边形,ABCD,另加条件,AC=BD,，四边形,EFGH,是,菱形,，,为什么？,在四边形,ABCD,另加条件,ACBD,，四边形,EFGH,是什么,特殊四边形,？为什么？,若四边形,EFGH,是,正方形,，,AC,与,BD,应满足什么,条件,？,2.,连结,BD,证：,EH=FG,3.,连结,AC,、,BD,，证：,EFHG,，,EHFG,4.,连结,AC,、,BD,，证：,EF=HG,，,EH=FG,1,.,连结,AC,，证：,EF=HG,如果四边形,ABCD,是特殊的四边形，将会有特殊的平行四边形,EFGH,出现吗？,28,ABCDEGHFDCBAHGFE 在,小 结,三角形中位线定义,三角形中位线定理,三角形中位线定理应用,作业,29,小 结三角形中位线定义三角形中位线定理三角形中位线定理,1.,如图,AF=FD=DB,FGDEBC,PE=1.5,则,BC=,3,4.5,9,1.5,30,1.如图,AF=FD=DB,FGDEBC,PE=1.5,2.,已知：如图,E,、,F,把四边形,ABCD,的对角线,BD,三等分，,CE,、,CF,的延长线分别平分,AB,、,AD .,求证：四边形,ABC