,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,5,讲,点阵常数的精确测定,2012,年,10,月,26,日,测定点阵常数的意义：,1.,固溶体的研究,:,固溶体的晶格常数随溶质的浓度而变化，可以根据晶格常数确定某溶质的含量。,2.,热膨胀系数测定：可以用高温相机通过测定晶格常数来确定,3.,内应力测定：内应力造成晶格的伸长或者压缩，以测定材料内应力。,4.,相变过程、晶体缺陷等：相变及晶体存在缺陷，点阵常数都会发生变化。,第5讲 点阵常数的精确测定2012年10月26日测定点阵常,1,问题：,每一个晶胞都有很多晶面，一个晶面对应一条衍射线。哪一条衍射线确定的点阵常数才是最接近真实值呢？即确定哪一个晶面上衍射线的位置用于测试,由布拉格方程（2,d sin ）,可知，点阵常数值的精确度取决于,sin,这个量的精确度，而不是,角测量的精确度。,问题：,2,sin ,关系曲线,(,解析关系,),sin 关系曲线(解析关系),3,从解析关系可以看出，,和,sin,是一个正弦曲线的关系,图中曲线显示，,当,越接近,90,时，对应于测量误差,的,sin,值误差越小,在,90 ,的角度范围内，由最大衍射角线条计算出的点阵常数最精确,从解析关系可以看出， 和sin是一个正弦曲线的关系,4,数学方法证明：,对方程 2,d sin ,进行微分,2 sind+2dcos,即,d/d,/-cot,如果不考虑波长,的误差，则,d/d,-cot,对于立方晶系物质来说，由于,d/d,a/a,，因此，,a/a,-cot,结论：,当,一定时，,采用高,角的衍射线，面间距误差,d/d,将要减小；当,接近于,90 ,时误差将会趋近于零,。,数学方法证明：,5,尽管,值趋近于,90 ,时的点阵常数的测试精度较高，但是在实验过程中,测量误差,是必然存在的，必须设法消除。,测量误差：,系统误差和偶然误差,系统误差,是由实验条件所决定的,偶然误差,是由于测量者的主观判断错误及测量仪表的偶然波动或干扰引起的,尽管值趋近于90 时的点阵常数的测试精度较高，但是在实验,6,一、 德拜谢乐法中系统误差的来源,德拜谢乐法常用于点阵常数精确测定，其系统误差的来源主要有：,（,1,）相机半径误差,（,2,）底片收缩（或伸长）,（,3,）试样偏心误差,（,4,）试样对,X,射线的吸收误差,（,5,）,X,射线折射误差,一、 德拜谢乐法中系统误差的来源 德,7,1.,相机半径误差,R,表观,-,真实,S/4,（,R+R,）,-S/4R,-R/,（,R+R),实际上，,R,总是很小的，因此上式可以写成,R,- (R/ R,）,1.相机半径误差R 表观-真实,8,2.,底片收缩误差,照相底片经冲洗、干燥后，会发生收缩或伸长，结果使衍射线对之间的距离,S,增大或缩小成为,S+ S,R,表观,-,真实,（,S+ S,）,/4R-S/4R,S,/4R, S,/ S,2.底片收缩误差照相底片经冲洗、干燥后，会发生收缩或伸长，结,9,相机,半径误差和底片收缩差,具有相同的性质，可以合并为：,R,，,S,R,+,S,（,S,/ S,- R/ R,）,立方晶系,a,的相对误差为,: (,a/a,-cot),a/a, （,S,/ S,- R/ R,）（,/2- ,）,cot ,当,接近,90 ,时，相机半径和底片收缩所造成的点阵常数测算误差趋于零,相机半径误差和底片收缩差具有相同的性质，可以合并为：,10,不对称装片法或反装法的好处：,在实验工作中，,采用不对称装片法或反装法可以把底片收缩误差降至下限,，因为对应的背射线条在底片上仅相隔一个很短的距离，因而底片收缩对其距离,S,的影响极小。,此外，用,不对称装片法尚可求出相机有效半径，以消除相机半径误差,不对称装片法或反装法的好处：,11,3.,试样偏心误差,3.试样偏心误差,12,试样的任何偏心都可以分解为沿入射线束的水平位移,x,和垂直位移,y,两个分量,垂直位移,y,使衍射线对位置的相对变化为,AC,，,BD,。,当,y,很小时，,AC,和,BD,近乎相等，因此可以认为垂直位移不会在,S,中产生误差,上下垂直方向偏差都有一样的结果,试样的任何偏心都可以分解为沿入射线束的水平位移x和垂直位移,13,水平位移,x,的存在，使衍射线条位置的相对变化为,AC,，,BD,。,于是,S,的误差为,AC+BD,2DB2PN,，,或,S,2PN,2xsin2,因此试样偏心导致的误差为：,C,（,S/,S,）,（,2xsin2 ,）,/,（,4R,）,xsin cos /R,注意到,（,/2-,）的关系，于是立方晶系点阵常数,a,的相对误差为,a/a,-cot,-xcos,2,/R,水平位移x的存在，使衍射线条位置的相对变化为AC，BD,14,4、德拜谢乐法的误差校正方法,1.,精密实验技术,（,1,）采用不对称装片法以消除由于底片和相机半径不精确所产生的误差,（,2,）将试样轴高精度地对准相机中心，以消除试样偏心造成的误差,（,3,）为了消除因试样吸收所产生的衍射线位移，可采用利用背射衍射线和减小试样直径等措施,（,4,）对于直径为,114.6mm,或更大的相机，需要精密的比长仪加以测定,（,5,）为了保证衍射线的清晰度不因曝光期间内晶格热胀冷缩带来的影响，在曝光时间内必须将整个相机的温度变化保持在,0.01,以内。,2.,提高实验人员的测量水平和技术,4、德拜谢乐法的误差校正方法1.精密实验技术,15,二、求点阵常数的数学方法,（,1,）图解外推法,根据德拜谢乐法中相机半径误差、底片收缩误差、试样偏心误差的讨论可知，其综合误差为, ,S,、,R,、,C,（,S,/ S,- R/ R,）,+Xsincos/R,=90 -,，,- ,，,sin ,cos ,和,cos ,sin ,，,a/a,-cot ,于是：,d/d,-cos/sin,sin/cos,(-sin/cos),（,S,/ S,- R/ R,）,+Xsincos/R,二、求点阵常数的数学方法（1）图解外推法,16,在背射区域中，当,接近,90 ,时，,很小，可以运用近似关系式,sin ,，,cos ,1,，于是得,d/d,（,S,/ S,- R/ R+,X/R,）,sin,2,在同一张底片中，由于每条衍射线的各种误差来源相同，因而上式中括弧内的数值均属定值，因此,d/d,Ksin,2,Kcos,2,对立方晶系，,d/d,a/a,，因此立方晶系点阵常数的相对误差与,cos,2,成正比。,在背射区域中，当接近90 时，很小，可以运用近似关系式,17,应用方法,1,、获得衍射线的位置（各个特征晶面的位置）即,角；,2,、根据,角算出,a,值和,cos,2,值；,3,、作出,a,cos,2,关系直线；,4,、根据拟合曲线并外推到,cos,2,0,处，即,为,90 ,处 ，在纵坐标,a,上即可得到真实点阵常数,a,满足以下条件,（,1,）在,60 ,90,之间有数目多，分布均匀的衍射线。,（,2,）至少有一条很可靠的衍射线在,80 ,以上,应用方法1、获得衍射线的位置（各个特征晶面的位置）即角；,18,外推法求纯铅的点阵常数,外推法求纯铅的点阵常数,19,（,2,）最小二乘法（柯亨法）,两个物理量,x,和,y,呈直线关系即,:,y,a+bx,误差的平方和表达式,y,2,（,a+bx,1,-y,1,）,2,+,（,a+bx,2,-y,2,）,2,+,使,y,2,为最小值的条件是,重排得：,y,a+b x, xy,a x+b x,2,为,正则方程,和,（2）最小二乘法（柯亨法）两个物理量x和y呈直线关系即:和,20,通常是在,sin,2,关系上应用最小二乘法,为此，将布拉格方程平方并取对数，得：,2lgd,-lgsin,2,+2lg,（,/2,）,微分得2,d/d,-sin,2,/sin,2,+2/,假定,/,为零，所以,2d/d,-sin,2,/sin,2,代入,d/d,Ksin,2,，,Kcos,2,得,sin,2,-2Ksin,2,cos,2,Dsin,2,2,通常是在sin 2关系上应用最小二乘法,21,正则方程,的确立是在布拉格方程上进行的，各条衍射线的观察值,sin,2,有一定误差，且误差值等于,Dsin,2,2 ,，现将这个误差加到平方形式的布拉格方程中去，,对立方晶系,sin,2,2,（,h,2,+k,2,+l,2,）,/4a,0,2,+ Dsin,2,2 ,A+C,式中,A,2/,4a,0,2,h,2,+k,2,+l,2,C,D/10,10sin,2,2 ,正则方程的确立是在布拉格方程上进行的，各条衍射线的观察值si,22,如果令,sin,2,代,y,，,代,x,，,A,代,（,相当于直线方程中,的系数），,C,代,b,，再参照正则方程建立规则，可以列出,柯亨法的正则方程,sin,2,A,2,+C ,sin,2,A,+C,2,y,a+bx,y,a+b x, xy,a x+b x,2,如果令sin2代y，代x，A代（相当于直线方程中的,23,本讲小结,熟悉点阵常数精确测定的基本原理,了解测定晶格常数时产生误差的原因,了解消除德拜谢乐法误差的基本方法,能够使用外推法和柯亨法测定常见晶体的点阵常数,本讲小结熟悉点阵常数精确测定的基本原理,24,练习题,5,1、,精确测定点阵常数为什么要选择高角度衍射线条？,2、外推法和最小二乘法测点阵常数的基本原理是什么？,3、测得铝在298不同衍射半角（,）,对应的晶面分别为：55.486- (331); 57.714-(420); 67.763-(422); 78.963- (333)。试用外推法求其点阵常数（作图）,4,、在单色,X,射线照射下，面心立方多晶体（如,Cu,）产生一系列的衍射锥，请问这些衍射锥都是有哪些晶面反射的？请按,2,由小到大的顺序写至少写出,8,个晶面。,5,、用数学（微分）的方法推导当衍射角接近,90,度时，测得晶格常数的误差最小。,6,、由相机半径、胶片伸缩、试样偏心引起的误差是多少？,练习题51、精确测定点阵常数为什么要选择高角度衍射线条？,25,