单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.3 两个向量的数量积运算,3.1.3 两个向量的数量积运算,1,1.复习平面向量数量积定义；,2.平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.,引入,1.复习平面向量数量积定义；引入,2,两个非零向量夹角的概念：,已知两个非零向量,a,与,b,，在空间中任取一点,O,，,作,OA,a,OB,b,则,AOB,叫做,向量,a,与,b,的夹角,记作,a,b,说明(1)0,180,当,a,b,时，,a,与,b,同向；,当,a,b,时，,a,与,b,反向；,当,a,b,时，称,a,与,b,垂直，记,a,b,新课,两个非零向量夹角的概念：说明(1)0,3,两个向量的夹角唯一确定且,a,b,b,a,.,在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的；,a,b,(,a,b,),.,说明：零向量与任一向量的数量积为0，即0,a,；,符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，,也不能用“”代替.,2.两个向量的数量积：已知空间两个向量,a,与,b,，,|,a,|,b,|cos,a,b,叫做,向量,a,，,b,的数量积,，,记作,a,b,，即,a,b,|,a,|,b|,cos,a,b,.,两个向量的夹角唯一确定且a,bb,a.,4,2.两个向量的数量积：已知空间两个向量,a,与,b,，,|,a,|,b,|cos,a,b,叫做,向量,a,、,b,的数量积,，,记作,a,b,，即,a,b,|,a,|,b,|cos,a,b,.,几何意义：已知向量,AB,a,和轴,l,，,e,是,l,上和,l,同方向,的单位向量作点,A,在,l,上的射影,A,，点,B,在,l,上,的射影,B,，则,A,B,叫做向量,AB,在轴,l,上或在,e,方向上的正射影，简称射影,l,B,A,B,A,2.两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，几何意义：已,5,3.空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数,量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：,a,e,a,cos,a,e,；,a,b,a,b,当,a,与,b,同向时，,a,b,a,b,；,当,a,与,b,反向时，,a,b,a,b,.,.,a,a,a,2,或,a,a,b,a,b,.,cos,a,b,3.空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数aea,6,4空间向量数量积运算律：,数乘分配律：,分配律：,数乘结合律：,交换律：,不满足结合律：,4空间向量数量积运算律：数乘分配律：分配律：数乘结合律：,7,问题：对于空间两个不共线且长度相等的向量 ，,（1）试比较 与 的大小.,（2）向量 与 的位置关系如何？,解法1：,问题：对于空间两个不共线且长度相等的向量 ，解,8,当,时,当,时,（1）,（2）上面三个图形若为菱形，则,与 垂直,当时当时（1）（2）上面三个图形若为菱形，则,9,解法2：,观察,（1）（2）,两式，也可得出与解法1相同的结论.,解法2：观察 （1）（2）两式，也可得出与解法1相同的结论,10,例1 已知平面,平面,=,l,点,A,B,在,内,并且它们在,l,上的正射影分别为 在,内,并且他们在,l,上的正射影分别为 ,求证:,l,B,A,A,B,C,D,C,D,例题,例1 已知平面平面,=l,点A,B在内,并且它,11,例2 已知长方体,ABCD,-,A,B,C,D,AB,=,AA,=2,AD,=4,E,为侧面,AB,的中心,F,为,A,D,的中点,计算下列数积:,BC,ED,BF,AB,EF,FC,.,D,A,B,C,a,F,E,b,A,c,D,C,B,例2 已知长方体ABCD-ABCD,AB=AA=2,12,例3 如图,在平行四边形,ABCD,中，,AB,=,AC,=1,ACD,90,将它沿对角线,AC,折起，使,AB,与,CD,成,60,角，求,B,与,D,之间的距离.,A,B,C,D,B,C,D,A,例3 如图,在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,A,13,不失一般性，应注意分析题意，弄清题目的已知是什么，未知是什么.,本题中还应完成两个转化：,将几何条件和结论转化为用向量表示;,由未知逐步向已知转化.,小结,不失一般性，应注意分析题意，弄清题目的已知是,14,课堂练习,2.在空间四边形,ABCD,中，求证：,AB,CD,的充要条件是：,AC,2,+,BD,2,=,AD,2,+,BC,2,.,思考：,1.向量本身具有什么特点？,2.两个向量数量积的定义有何意义？,课堂练习2.在空间四边形ABCD中，求证：ABCD的充要条,15,课后作业,P92 练习,P98 习题3.1 A组 4,5.,课后作业P92 练习,16,