单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方程与特殊函数,2023年3月,数学物理方程通常是从物理问题导出的函数方程，主要是偏微分或积分方程。它描述了很多自然界的物理现象，并能解决生产及科学技术上的重要问题。其处理问题的大致步骤是：,1、将物理问题依据有关定律建立数学模型，即定解问题泛定方程+定解条件,2、解定解问题,3、对所得解通过数学的论证和客观实践的检验鉴定其正确性，并解释解得物理意义。,1、波动方程,2、输运方程,3、稳定场方程,除这些典型方程外，由于争论对象和目的不同，还有其他形式。,数学物理方程依据所代表的物理过程一般分为三类：,第一章 典型方程与定解条件,一、弦的微小横振动方程的建立,本节以弦振动为例，争论如何把物理规律转化为数学物理方程，要求把握这种方法.数学物理方程的导出步骤为：,1、确定争论的物理量u.,2、从争论的系统中任取一局部，依据物理规律分析邻近局部和这小局部的相互作用，并略去不重要的因素.,3、将相互作用在短时间内如何影响物理量u，,用算式表达出来.,4、化简整理得数学物理方程.,设弦的长度为 ，密,度为 ，把它绷紧固定,在 上，在不振动时是,一条直线，取直线的方向,为x轴，如以以下图，当它在平衡位置四周作垂直于x 轴的微小振动时，争论弦上各点的位移u与坐标x 准时间t 的关系即,(2),其中 是横向加速度 ，,对于小振动,，,令 时，则有,其中：,令,当无外力作用,：,说明：设弦是完全松软的弹性体,无弯曲刚度，所以张力总是沿着弦线振动的切线方向.,即便设在振动时弦的截面的变化可无视不计，弦的线密度满足下式：,均匀杆纵振动方程建立,设杆的截面积为S,杨氏模量为E，用 表示在X位置在t 时刻杆的纵向位移。杆的应变相对伸长为：,杆的轴向,应力,与轴向应变：,设杆的横截面在振动过程中始终保持为平面，即每一截面内诸质点仅沿杆的轴线运动。实际上，由于纵向伸长或压缩横向是有变形的，但假设纵波的波长比杆的横截面积大，横向位移对纵向运动影响可以无视。,依据牛顿其次定律：,膜的横振动方程,设膜是均匀的；膜是松软的弹性体，其张力总是在膜的切平面内；膜的重量与张力相比无视；膜作微小振动，即膜的偏移与直径相比小得多；振动时膜上任意点沿任一方向的斜率小于1；只作横振动。,考虑膜上任意微元，承受隔离法受力分析,设 表示膜相对于平衔位置(在x y平面内)的垂立 方向的位移。可以完全仿照弦的横振动方程的建立过程中的推导,争论微元质量,T为单位长度张力，则,在X方向受到的切向张力,的横向垂直重量为：,在Y方向受到的切向张力的横向垂直重量,电报方程,在特殊长的两条平行传输线(或同轴电缆)的输入端加上交变 电源时，线间电压和线间电流的分布可由图所示的等效电路 求得，因中L、R、C、G分别为来回线路每单位长度的电感、电阻、静电电容和漏电导的值。假设设传传输线(或电缆)是均匀的，则这些值可视作常数。例如通信电缆在20时R=56/km，L=0.7m L/k m，C=0.36PF/km，G=o.6S/km。由于输入端交变电源(或交变讯号)，所以电压及电流将沿 着传输线的长度X变化，通常还是时间T的函数。下面我们来确 立分布于传输线上的电压与电流所满足的数理方 程。,用,由于存在线间漏电，在争论微元左端与右端电流不相等，由于导线电阻和电感，电压也发生变化。,由于高频作用不考虑超高频,争论：,(1)无损耗线,假设R和G很小，我们可以无视损耗，这种传输线称为无损耗线。在高频状况下，假设 也可视作无损耗线，即 。这时电报方程将简化为:,(2),无失真线,当信号无失真线传播时，不会发生畸变(失真)现象，因此也是一种抱负的长传输线。无失真的条件为RCLG，这时电报方程简化为:,(3),无漏导无电感线,假设传输线的G和L都可无视不计，即G=L=0(同轴电缆状况可这样认为则有,均匀梁的横振动方程建立：,几个名词：,一般说当梁受垂直于轴线的外力或在其轴线平面内有外力偶作时梁的轴线将由直线变为曲线。以轴线变弯为主要特征的变形形式，称为弯曲。,作用在梁上的外力，包括载荷与支反力，最常见的载荷个以下三种。,(1)集中载荷 通过微小梁段作用在梁上的横向力。例如作用在火车轮袖上的外力P。,(2集中力偶 通过微小梁段作用在梁轴平面内的外力偶,(3)分布载荷 沿梁全长或局部长度连续分布的横向力。,分布载荷的大小用载荷集度友示。设梁段x上的分布载荷为p,载荷集度,梁弯曲时横截面上必定同时存在两种内力重量：剪力Q与弯矩M。凡企图使微段沿顺时针方向转动的剪力为正；使微段弯曲呈凹形的弯矩为正。,剪力、弯矩与裁荷集度间的微分关系,上述关系式说明：剪力图某点处的切线率等于相应截面处的载荷集度；弯矩图某点处的切线斜率，等于相应截面处的剪力；而弯矩图某点处的二阶导数，则等于相应截面处的载荷度。,弯构变形的结果如图，横截面,mn,和,pq,彼此相对地绕垂直于,xy,平面的轴线旋转，因面在梁的凸侧上的纵向纤维伸长，而凹侧的纵向纤维缩短因此，梁的上部的纤维受压，而底部的纤维受拉,变形之后，两个相邻横截面,mn,和,pq,平面交于,O,点处，该点为梁的纵轴的曲率中心。这两平面之间的夹角用 表示，,曲率半径用,表示,则：由材料力学学问有：,其中,M,称为湾矩，,E,为杨氏模量，,I,为惯性矩，,Q,为剪力,当梁发生,微小振动时,，绕度很小，挠度曲线将是很平坦的。,其 角和曲线的斜度均为很小的量，,假设,由,假设梁的横振动振幅较大，则挠度曲线斜度较大,利用材料力学公式：,真空中的电磁波方程,真空中麦克斯韦方程微分形式,其次节 热传导方程与集中方程,一、热传导方程,在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物质。假定它的内部有热源或汇，并且与四周的介质有热交换，争论物体内部温度的分布规律。,物理模型：,均匀物体,：,物体的质量密度为常数，设为,各向同性,：,物体的比热和热传导系数均为常数设为,由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫作热传导.热传导的强弱可用“单位时间里通过单位横截面积的热量”表示，这叫做热流强度，,记作,热传导的起源是温度的不均匀，温度不均匀可用温度梯度表示依据试验结果，热传导定律是,k热传导系数,数学模型的建立,设：,u,(,x,y,z,t,)表示物体于时刻,t,在位置,x,y,z,处的温度,C,表示是比热,(焦耳/度,千克,),f,0,(,x,y,z,t,)表示热源强度(焦耳/千克,秒,),表示密度,(千克/米,3,)，,k,表示导热系数,数学模型,二维的情形：,一维的情形：,其中：,a,2,=,k,/,C,，,f,(,x,y,z,t,)=,f,0,/,C,，,当争论对象内部没有热源，即,其热传导方程为：,二、集中方程的建立,由于浓度(单位体积内的分子数或质量)的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，这种现象叫做集中。集中运动的强弱可用“单位时间里通过单位横截面积的原子或分子数”表示，这叫做集中强度，记作 .集中运动的起源是浓度不均匀，浓度不均匀的程度可用浓度梯度表示，依据试验结果，集中定律为：,(负号表示集中转移的方向为浓度,削减的方向)，D为集中系数,在集中问题中争论的是浓度在空间中的分布及在时间中的变化，仿照热传导问题，可导出集中方程,物理模型,考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有集中源，来争论物体内局部子的浓度在时刻 t 的分布规律。,数学模型,其中：,u,(,x,y,z,t,)表示于时刻,t,在,(,x,y,z,),处的物质浓度,f,(,x,y,z,t,)表示单位时间内单位体积中产生的物质量,D,为扩散系数,描述集中运动有两个根本定律：1、质量守恒定律；2、菲克定律,将菲克定律表达式代入：,假设三维空间中各向均匀、同性物体，则D为常数,非饱和土壤水运动方程建立,1、非饱和土壤水流淌的达西定律,q为单位时间内通过单位面积土壤的水量,式中，,z,前的正负号，视,z,坐标的方向而定，,z,坐标向上为正时取正号，,z,坐标向下为正时取负号,在直角坐标系中，达西定律沿三个方向的,表达式为：,依据物质量守恒：,将,q,代人得到,：,由于导水率一般是含水率的函数，因此方程是比较简洁的，求解一般是困难的。一般承受数值求解。,方程的几种形式：,1、以基质势为因变量的根本方程,非饱和土壤导水率k和比水容量C均可表示为土壤含,水率的函数,或基质势的函数。即：,对于竖直一维运动,：,2、以含水率 为因变量的根本方程,定义非饱和土壤水的集中率,对于一水平维运动,:,一维竖直运动：,3、以位置坐标x或z为因变量的根本方程,对于某些较为简洁的状况，用解析或半解析方法对非饱和流淌求解时，将位置坐标作为未知函数，此时，含水率以隐函数的形式表示，,第三节 稳定场方程,当争论物理量不随时间变化，只与空间位置有关时，上述两类方程变为：,