2.3.2,两个变量的线性关系,两个变量的线性相关,1,、变量之间除了函数关系外，还有相关关系。,例,：（,1,）商品销售收入与广告支出经费之间的关系,（,2,）粮食产量与施肥量之间的关系,（,3,）人体内脂肪含量与年龄之间的关系,一、变量之间的相关关系,不同点：,函数关系是一种确定的关系；而,相关关系是一种非确定关系,.,相关关系与函数关系的异同点：,相同点：,均是指两个变量的关系,2,、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确,定的随机因素的影响。,3,、需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系,一、变量之间的相关关系,在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，,研究人员获得了一组样本数据：,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间,有怎样的关系？,散点图,:,两个变量的,散点图,中点的分布的位置是从左,下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，,另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系,为,正相关。,思考：1、两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？,答：两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，而另一,个变量值由,大变小，我,们称这种相,关关系为,负,相关。,2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗,？,如学习时间与成绩，负相关如日用眼时间和视力，汽车的重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的平均路程等。,注：若两个变量散点图呈上图，则不具有相关关系，如：身高与数学成绩没有相关关系。,散点图,回归直线：如果散点图中点的分布,从,整体,上看,大,致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具,有,线性相关关系,，这条直线就叫做,回归直线,。,这条回归直线的方程，简称为回归方程。,1.,如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系,2.,如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系,3.,如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系,只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系,方案一：,采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。,三、我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？,方案二,:,在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。,方案三,:,在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。,上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的,定义,。,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小”。计算回归方程的斜率和截距的一般公式：,其中，,b,是回归方程的斜率，,a,是截距。,5、最小二乘法的公式的探索过程如下：,设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：,（,x,1,，y,1,），（x,2,，y,2,），（,x,n,，y,n,）,设所求的回归直线方程为,Y=,bx+a,，,其中,a，b,是待定的系数。当变量,x,取,x,1,，x,2,，,x,n,时，可以得到,Y,i,=,b,x,i,+a（i,=1，2，n）,它与实际收集得到的,yi,之间偏差是,y,i,-Y,i,=,y,i,-(bx,i,+a)（i,=1，2，n）,（,x1，y1）,（,x2，y2）,（,xi，,yi,）,yi,-Yi,y,x,这样，用这,n,个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。,（y,i,-Y,i,）,的最小值,n,i=1,|,y,i,-Y,i,|,的最小值,n,i=1,（y,i,-Y,i,）2,的最小值,n,i=1,Q=(y1-bx,1,-a)2+(y,2,-bx,2,-a)2+(yn-bx,n,-a)2,当,a，b,取什么值时，,Q,的值最小，即总体偏差最小,（xi-x）（yi-y,）,n,i=1,b=,（xi-x,）,n,i=1,a=,y-bx,我们可以用计算机来求,回归方程,。,人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此回归直线来反映。,将年龄作为,x,代入上述回归方程，看看得出数值与真实值之间有何关系？,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,回归值,12.8,15.1,22.0,23.2,25.5,27.8,28.4,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,回归值,30.1,30.7,31.8,32.4,33.0,34.1,34.7,若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在37.1（0.57765-0.448=37.1）附近的可能性比较大。,但不能说他体内脂肪含量一定是37.1,原因,：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于,x,，预报值,Y,能等于实际值,y,例,2,、假设关于某设备的使用年限,x（,年）和所支出的维修费用,y（,万元），有如下的统计资料：,使用年限,x（,年）2 3 4 5 6,维修费用,y（,万元）2.2 3.8 5.5 6.5 7.0,若资料知,y，x,呈,线性相关关系,，试求：,（1）线性回归方程,Y=,bx+a,的,回归系数,a、b；,（2）,估计使用年限为10年时，维修费用是多少？,i,解：,（1）于是有,b=（112.3-5*4*5）/（90-5*42）=1.23,a=5-1.23*4=0.08,（2）,回归方程,为,Y=1.23x+0.08，,当,x=10,时，,Y=12.38 （,万元），即估计使用10年时维护费用是12.38万元。,例,1,：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：,1,、画出散点图；,2,、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；,3,、求回归方程；,4,、如果某天的气温是,2,摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。,1,、散点图,2,、从图,3-1,看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。,3,、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式,1,求出回归方程的系数。,Y=-2.352x+147.767,4,、当,x=2,时，,Y=143.063,因此，某天的气温为,2,摄氏度时，这天大约可以卖出,143,杯热饮。,